Rasionalkan: ((akar(5) - akar(3))/(akar(5) + 2 akar(3)) =

Bentuk rasionil dari $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + 2\sqrt{3}}$ adalah $\frac{3\sqrt{15} - 11}{7}$ dan bentuk rasionil dari $\frac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}}$ adalah $-5 - 2\sqrt{6}$.

Pembahasan

Untuk merasionalkan bentuk $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + 2\sqrt{3}}$, kita kalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawan dari penyebut, yaitu $\sqrt{5} - 2\sqrt{3}$.

$$ \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + 2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5} - 2\sqrt{3}}{\sqrt{5} - 2\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} - 2\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (2\sqrt{3})^2} $$

Pembilang:
$(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} - 2\sqrt{3}) = \sqrt{5}\cdot\sqrt{5} - \sqrt{5}\cdot2\sqrt{3} - \sqrt{3}\cdot\sqrt{5} + \sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}$
$= 5 - 2\sqrt{15} - \sqrt{15} + 2(3)$
$= 5 - 3\sqrt{15} + 6$
$= 11 - 3\sqrt{15}$

Penyebut:
$(\sqrt{5})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 5 - (4 \times 3)$
$= 5 - 12$
$= -7

Jadi, bentuk rasionanya adalah $\frac{11 - 3\sqrt{15}}{-7} = \frac{3\sqrt{15} - 11}{7}$.

Sekarang, mari kita rasionalkan bentuk kedua: $\frac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}}$. Kita kalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawan dari penyebut, yaitu $2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}$.

$$ \frac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{2\sqrt{3} - 3\sqrt{2}} \times \frac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}} = \frac{(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})}{(2\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{2})^2} $$

Pembilang:
$(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}\cdot2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}\cdot3\sqrt{2}$
$= 6\sqrt{6} + 9(2) + 4(3) + 6\sqrt{6}$
$= 6\sqrt{6} + 18 + 12 + 6\sqrt{6}$
$= 30 + 12\sqrt{6}$

Penyebut:
$(2\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{2})^2 = (4 \times 3) - (9 \times 2)$
$= 12 - 18$
$= -6

Jadi, bentuk rasionanya adalah $\frac{30 + 12\sqrt{6}}{-6} = -5 - 2\sqrt{6}$.