Rata-rata empat bilangan bulat: 5, a, b, dan 6 sama dengan

Selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah 4.

Pembahasan

Misalkan keempat bilangan bulat tersebut adalah 5, a, b, dan 6. Karena median data tersebut adalah 7, maka setelah diurutkan, bilangan ke-2 dan ke-3 adalah 7. 

Ada dua kemungkinan urutan data:
1. 5, a, b, 6 (jika a dan b di antara 5 dan 6, yang tidak mungkin karena bilangan bulat)
2. 5, 6, a, b (jika a dan b lebih besar dari 6)
3. a, 5, 6, b (jika a lebih kecil dari 5 dan b lebih besar dari 6)
4. a, b, 5, 6 (jika a dan b lebih kecil dari 5, yang tidak mungkin karena median 7)

Mari kita pertimbangkan kasus di mana 7 adalah median. Ini berarti jika data diurutkan, dua bilangan tengah adalah 7. Karena kita memiliki 4 bilangan, median adalah rata-rata dari dua bilangan tengah.

Namun, soal menyatakan median data tersebut adalah 7. Ini berarti dua bilangan tengah adalah 7. Karena kita memiliki bilangan 5 dan 6, maka susunan yang mungkin adalah:

Kasus 1: 5, a, 7, 6 (Tidak mungkin karena 6 < 7)
Kasus 2: 5, 6, a, b
Kasus 3: a, 5, 6, b

Jika median adalah 7, maka dua bilangan tengah adalah 7. Dengan bilangan 5 dan 6, ini menyiratkan urutan seperti ini:

Kemungkinan 1: Urutan data adalah 5, a, 6, b. Jika median 7, maka rata-rata dari a dan 6 adalah 7. (a+6)/2 = 7 => a+6 = 14 => a = 8. Data: 5, 8, 6, b. Diurutkan: 5, 6, 8, b. Agar median 7, maka (6+8)/2 = 7, yang salah.

Kemungkinan 2: Urutan data adalah a, 5, 6, b. Jika median 7, maka rata-rata dari 5 dan 6 adalah 7. (5+6)/2 = 11/2 = 5.5, yang salah.

Kemungkinan 3: Urutan data adalah 5, a, b, 6. Jika median 7, maka rata-rata dari a dan b adalah 7. (a+b)/2 = 7 => a+b = 14. Rata-rata keempat bilangan: (5+a+b+6)/4 = (5+14+6)/4 = 25/4 = 6.25. Ini tidak sama dengan median 7.

Mari kita baca kembali soal: "Rata-rata empat bilangan bulat: 5, a, b, dan 6 sama dengan median data tersebut, yaitu 7".
Ini berarti rata-rata = 7 dan median = 7.

Jika median adalah 7, dan kita punya bilangan 5 dan 6, maka urutan yang mungkin agar median adalah 7 adalah:
1. 5, a, 7, b  (Jika 7 adalah salah satu bilangan)
2. 5, 7, a, b  (Jika 7 adalah bilangan kedua)
3. a, 5, 7, b  (Jika 7 adalah bilangan ketiga)

Karena median dari 4 bilangan adalah rata-rata dari dua bilangan tengah, dan mediannya adalah 7, maka dua bilangan tengah tersebut harus 7.
Ini berarti urutan data harus seperti ini, dengan dua bilangan tengah adalah 7.

Kemungkinan 1: 5, x, y, 6. Median = (x+y)/2 = 7 => x+y = 14. Rata-rata = (5+x+y+6)/4 = (5+14+6)/4 = 25/4 = 6.25. Tidak cocok dengan median 7.

Kemungkinan 2: Data mengandung angka 7. Misalkan angka-angkanya adalah 5, a, b, 6. Jika median adalah 7, maka setelah diurutkan, dua bilangan tengah adalah 7. Karena kita sudah punya 5 dan 6, ini tidak mungkin.

Mari kita asumsikan bahwa 7 adalah salah satu dari a atau b, atau kedua-duanya.

Jika median adalah 7, maka urutan data jika diurutkan adalah seperti ini:  _ , _ , _ , _ 
Median = (bilangan ke-2 + bilangan ke-3) / 2 = 7.

Kasus A: 5 adalah bilangan terkecil. Data: 5, a, b, 6. Agar median 7, maka (a+b)/2 = 7 => a+b = 14. Rata-rata = (5+a+b+6)/4 = (5+14+6)/4 = 25/4 = 6.25. Ini tidak sama dengan 7.

Kasus B: Urutan data adalah a, 5, b, 6. Agar median 7, maka (5+b)/2 = 7 => 5+b = 14 => b = 9. Data: a, 5, 9, 6. Diurutkan: a, 5, 6, 9. Agar median 7, maka (5+6)/2 = 5.5. Tidak cocok.

Kasus C: Urutan data adalah a, 5, 6, b. Agar median 7, maka (5+6)/2 = 5.5. Tidak cocok.

Kasus D: Urutan data adalah 5, 6, a, b. Agar median 7, maka (6+a)/2 = 7 => 6+a = 14 => a = 8. Data: 5, 6, 8, b. Rata-rata = (5+6+8+b)/4 = (19+b)/4. Rata-rata = median = 7. Maka (19+b)/4 = 7 => 19+b = 28 => b = 9. Data: 5, 6, 8, 9. Median = (6+8)/2 = 7. Rata-rata = (5+6+8+9)/4 = 28/4 = 7. Ini cocok.

Jadi, bilangan-bilangan tersebut adalah 5, 6, 8, 9.
Bilangan terbesar adalah 9.
Bilangan terkecil adalah 5.
Selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah 9 - 5 = 4.