Refleksi Tunggal Tentukan bayangan garis 2x-3y=6 jika

Bayangan garisnya adalah 18x + y = -44.

Pembahasan

Untuk menentukan bayangan garis 2x - 3y = 6 jika direfleksikan terhadap garis y = 2x + 1, kita perlu mencari transformasi untuk setiap titik (x, y) pada garis tersebut. Misalkan bayangan titik (x, y) adalah (x', y').

Karena titik (x, y) dicerminkan terhadap garis y = 2x + 1, maka:
1. Garis yang menghubungkan (x, y) dan (x', y') tegak lurus terhadap garis y = 2x + 1. Gradien garis y = 2x + 1 adalah m1 = 2. Gradien garis yang menghubungkan (x, y) dan (x', y') adalah m2 = (y' - y) / (x' - x). Agar tegak lurus, m1 * m2 = -1, sehingga 2 * ((y' - y) / (x' - x)) = -1.
   2(y' - y) = -(x' - x)
   2y' - 2y = -x' + x
   x = 2y' + x' - 2y

2. Titik tengah garis yang menghubungkan (x, y) dan (x', y') terletak pada garis y = 2x + 1. Titik tengahnya adalah ((x + x') / 2, (y + y') / 2).
   (y + y') / 2 = 2 * ((x + x') / 2) + 1
   (y + y') / 2 = x + x' + 1
   y + y' = 2(x + x' + 1)
   y + y' = 2x + 2x' + 2
   y = 2x + 2x' + 2 - y'

Sekarang kita punya dua persamaan untuk x dan y:
(1) x = 2y' + x' - 2y
(2) y = 2x + 2x' + 2 - y'

Gantikan y dari persamaan (2) ke persamaan (1):
x = 2y' + x' - 2(2x + 2x' + 2 - y')
x = 2y' + x' - 4x - 4x' - 4 + 2y'
x = 4y' - 3x' - 4x - 4

Sekarang kita perlu menyelesaikan untuk x' dan y' dalam bentuk x dan y. Mari kita gunakan metode lain yang lebih langsung untuk transformasi.

Metode Transformasi,
Misalkan bayangan titik (x, y) adalah (x', y').
Rumus transformasi untuk refleksi terhadap garis ax + by + c = 0 adalah:
(x' - x) / a = (y' - y) / b = -2(ax + by + c) / (a^2 + b^2)

Untuk garis y = 2x + 1 atau 2x - y + 1 = 0, maka a = 2, b = -1, c = 1.

(x' - x) / 2 = (y' - y) / -1 = -2(2x - y + 1) / (2^2 + (-1)^2)
(x' - x) / 2 = (y' - y) / -1 = -2(2x - y + 1) / 5

Dari sini kita dapatkan:
(x' - x) / 2 = -2(2x - y + 1) / 5
x' - x = -4(2x - y + 1) / 5
x' = x - (8x - 4y + 4) / 5
x' = (5x - 8x + 4y - 4) / 5
x' = (-3x + 4y - 4) / 5
5x' = -3x + 4y - 4
3x = 4y - 4 - 5x'
x = (4y - 5x' - 4) / 3

(y' - y) / -1 = -2(2x - y + 1) / 5
y' - y = 2(2x - y + 1) / 5
y' = y + (4x - 2y + 2) / 5
y' = (5y + 4x - 2y + 2) / 5
y' = (4x + 3y + 2) / 5
5y' = 4x + 3y + 2
4x = 5y' - 3y - 2
x = (5y' - 3y - 2) / 4

Sekarang kita punya dua ekspresi untuk x. Samakan keduanya:
(4y - 5x' - 4) / 3 = (5y' - 3y - 2) / 4
4(4y - 5x' - 4) = 3(5y' - 3y - 2)
16y - 20x' - 16 = 15y' - 9y - 6
16y - 16 - 15y' + 9y + 6 = 20x'
25y - 10 - 15y' = 20x'
5y - 2 - 3y' = 4x'
x' = (5y - 3y' - 2) / 4

Mari kita coba lagi.
Titik (x, y) pada garis 2x - 3y = 6.
Bayangannya adalah (x', y').
Titik tengah M = ((x+x')/2, (y+y')/2) terletak pada garis y = 2x + 1.
(y+y')/2 = 2((x+x')/2) + 1
y+y' = 2(x+x') + 2
y+y' = 2x + 2x' + 2
y = 2x + 2x' + 2 - y' (Persamaan 1)

Garis yang menghubungkan (x, y) dan (x', y') tegak lurus dengan y = 2x + 1.
Gradien = (y'-y)/(x'-x) = -1/2
2(y'-y) = -(x'-x)
2y' - 2y = -x' + x
x = 2y' - 2y + x' (Persamaan 2)

Substitusikan Persamaan 1 ke Persamaan 2:
x = 2y' - 2(2x + 2x' + 2 - y') + x'
x = 2y' - 4x - 4x' - 4 + 2y' + x'
x = 4y' - 3x' - 4x - 4
5x = 4y' - 3x' - 4
x = (4y' - 3x' - 4) / 5

Substitusikan x dari Persamaan 2 ke Persamaan 1:
y = 2(2y' - 2y + x') + 2x' + 2 - y'
y = 4y' - 4y + 2x' + 2x' + 2 - y'
y = 3y' - 4y + 4x' + 2
5y = 3y' + 4x' + 2
y = (3y' + 4x' + 2) / 5

Sekarang substitusikan x dan y ke persamaan garis asli 2x - 3y = 6:
2((4y' - 3x' - 4) / 5) - 3((3y' + 4x' + 2) / 5) = 6
(8y' - 6x' - 8) / 5 - (9y' + 12x' + 6) / 5 = 6
8y' - 6x' - 8 - 9y' - 12x' - 6 = 30
-y' - 18x' - 14 = 30
-y' - 18x' = 44
y' + 18x' = -44

Jadi, bayangan garis 2x - 3y = 6 jika direfleksikan terhadap garis y = 2x + 1 adalah 18x + y = -44 atau y = -18x - 44.