ABCD merupakan trapesium dengan AB sejajar DC. N sebuah

a. AN = 9 cm. b. DB = sqrt(505) cm.

Pembahasan

Kita diberikan trapesium ABCD dengan AB sejajar DC. Titik N berada pada AB sehingga sudut DNA = 90 derajat. Diketahui AD = BC = 15 cm, DN = 12 cm, dan DC = 10 cm.

a. Mencari panjang AN:
Dalam segitiga siku-siku DNA, kita memiliki sisi AD (hipotenusa) = 15 cm dan sisi DN = 12 cm. Kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang AN:
AD^2 = AN^2 + DN^2
15^2 = AN^2 + 12^2
225 = AN^2 + 144
AN^2 = 225 - 144
AN^2 = 81
AN = sqrt(81)
AN = 9 cm.

b. Mencari panjang DB:
Untuk mencari panjang DB, kita perlu mengetahui panjang AB. Karena ABCD adalah trapesium dengan AD=BC (trapesium sama kaki), kita bisa menarik garis tinggi dari D dan C ke AB. Namun, kita sudah memiliki informasi tentang segitiga siku-siku DNA.
Kita perlu mencari panjang NB terlebih dahulu untuk mengetahui panjang AB.
Kita bisa menggunakan sifat trapesium sama kaki. Tarik garis tinggi dari C ke AB, sebut saja titik E. Maka CE = DN = 12 cm dan AE = NB.
Karena AB sejajar DC, dan DN tegak lurus AB, maka AN tegak lurus DN. Sudut DNA = 90.
Perhatikan segitiga siku-siku DNB. Kita perlu panjang NB. Kita tahu DC = 10 cm.
Karena ABCD adalah trapesium sama kaki, kita bisa membuat persegi panjang dengan menarik garis tinggi dari D dan C ke AB. Misalkan kaki garis tinggi dari D adalah P pada AB dan dari C adalah Q pada AB. Maka DP = CQ = 12 cm. Karena trapesium sama kaki, AP = BQ.
Kita memiliki DC = 10 cm. Maka PQ = DC = 10 cm.
Kita tahu AN = 9 cm. Jika N berada di antara A dan P, ini akan rumit. Mari kita gunakan informasi sudut DNA=90.
Karena AB sejajar DC, dan DN tegak lurus AB, maka DN juga tegak lurus DC jika N terletak pada perpanjangan AB.
Namun, N ada pada AB.
Mari kita perhatikan segitiga DNA. AD=15, DN=12, AN=9. Ini adalah segitiga siku-siku di N.
Sekarang, kita perlu mencari panjang DB. Kita perlu koordinat atau panjang sisi lain.
Karena ABCD adalah trapesium sama kaki, maka sudut DAB = sudut CBA.
Kita bisa gunakan informasi bahwa AB sejajar DC.
Tarik garis tinggi dari C ke AB, sebut saja titik E. Maka CE = DN = 12 cm. Karena trapesium sama kaki, AE = NB.
Kita tahu DC = 10 cm. Maka AB = AN + NB = 9 + NB.
Kita tahu AE = NB. Jadi AB = AE + EB. Dan DC = AE + EB - (AE+EB-AB) = AE+EB - (AB-DC)
Ini membingungkan.
Mari kita gunakan informasi bahwa ABCD adalah trapesium sama kaki. Tarik garis dari D sejajar BC, memotong AB di titik F. Maka DBCF adalah jajar genjang, sehingga DF = BC = 15 cm dan DC = FB = 10 cm.
Karena AB sejajar DC, dan DN tegak lurus AB, maka DN tegak lurus DC juga. Ini tidak mungkin jika N di AB dan DC adalah sisi sejajar.

Asumsi: DN tegak lurus AB.
Karena AB sejajar DC, maka DN juga tegak lurus DC jika DN diperpanjang.
Dalam segitiga siku-siku DNA: AD=15, DN=12, AN=9.
Sekarang kita perlu mencari panjang DB. Kita perlu panjang AB dan NB.
Karena ABCD trapesium sama kaki, maka DE = FC (jika kita tarik garis tinggi dari D dan C ke AB). Atau kita bisa menggunakan sifat sudut.
Mari kita gunakan Pythagoras pada segitiga siku-siku DNB. Kita perlu NB.
Jika kita perpanjang DN, dan DC sejajar AB, maka segitiga ADN siku-siku di N. AD=15, DN=12, AN=9.
Karena ABCD trapesium sama kaki, AD=BC=15. Sudut DAB = sudut CBA.
Kita bisa mencari cos(DAB) dari segitiga DNA: cos(DAB) = AN/AD = 9/15 = 3/5.
Sekarang, pada segitiga ABC (jika kita perpanjang AB), kita perlu mencari NB.
Karena AB sejajar DC, kita bisa menggunakan teorema intercept. Namun, kita tidak tahu perbandingan.
Kembali ke trapesium sama kaki. Tarik garis tinggi dari C ke AB, sebut saja titik E. Maka CE = 12 cm. AE = NB.
Kita tahu DC = 10 cm. Maka AB = AN + NB = 9 + NB.
Karena trapesium sama kaki, maka AE = NB. AB = AE + EB.
DC = AB - AE - EB.
DC = AB - 2*AE. (Ini jika E di antara A dan B, dan trapesiumnya 'normal').
Kita punya DC = 10, DN = 12, AD = 15, AN = 9.
Karena AB sejajar DC, dan DN tegak lurus AB, maka DN juga tegak lurus DC.
Ini berarti sudut DNC = 90 derajat. Jika demikian, DCN adalah segitiga siku-siku.
Namun, kita diberikan ABCD adalah trapesium dengan AB sejajar DC.

Mari kita gunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku DNB. Kita perlu NB.
Kita tahu DC = 10 cm. Karena AB sejajar DC, maka jarak antara AB dan DC adalah sama. DN=12 adalah jarak dari D ke AB. Jadi tinggi trapesium adalah 12 cm.
Tarik garis tinggi dari C ke AB, sebut titik E. Maka CE = 12 cm. AE = NB.
Karena ABCD trapesium sama kaki, maka AE = NB.
Panjang AB = AN + NB = 9 + NB.
Jika kita tarik garis tinggi dari C ke AB di titik E, maka DC = AE + EB - (AE+EB-AB). Ini salah.
Jika kita tarik garis tinggi dari D ke DC perpanjangan (tidak relevan) atau dari C ke perpanjangan AB.

Mari kita gambar ulang. AB sejajar DC. N di AB. Sudut DNA = 90. AD=15, DN=12, DC=10, AN=9.
Karena AB sejajar DC, maka jarak dari D ke AB adalah DN=12. Ini adalah tinggi trapesium jika DN tegak lurus AB dan DC. Tetapi DC adalah sisi, bukan garis.
DN = 12 cm adalah jarak dari D ke garis AB.
Karena AB sejajar DC, maka jarak dari C ke AB juga 12 cm. Misalkan kita tarik garis CE tegak lurus AB, E di AB. Maka CE = 12 cm.
Karena ABCD trapesium sama kaki, maka AE = NB.
Panjang AB = AN + NB = 9 + NB.
Kita tahu DC = 10. Dalam trapesium sama kaki, jika kita tarik garis tinggi dari C ke AB (titik E) dan dari D ke AB (titik F), maka AF = BE. Dan EF = DC = 10.
AB = AF + FE + EB = AF + 10 + AF = 2*AF + 10.
Kita punya N pada AB, dengan AN = 9. DN = 12, AD = 15.
Karena sudut DNA = 90, segitiga DNA siku-siku di N. AN=9, DN=12, AD=15. Ini konsisten.
Sekarang kita perlu mencari DB.
Kita tahu NB. Kita perlu mencari NB. AB = AN + NB = 9 + NB.
Kita tahu AB = 2*AF + 10. Dan AF = NB (karena trapesium sama kaki, tapi ini jika N=F).
N terletak pada AB. DN tegak lurus AB.
Karena AB sejajar DC, dan DN tegak lurus AB, maka DN juga tegak lurus DC jika DN diperpanjang.
Dalam segitiga siku-siku DNB, kita perlu NB.
Kita tahu DC = 10.
Kita bisa gunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku DNB jika kita tahu NB.
Karena ABCD trapesium sama kaki, maka sudut DAB = sudut CBA.
Kita tahu cos(DAB) = AN/AD = 9/15 = 3/5.
Sekarang kita perlu mencari NB. AB = AN + NB = 9 + NB.
Karena ABCD trapesium sama kaki, maka kita bisa gunakan sifat sudut.
Misalkan kita tarik garis CE tegak lurus AB. Maka CE = 12. AE = NB. AB = AN + NB = 9 + NB.
DC = AB - AE - EB = AB - 2*AE (jika AE = EB, yang mana tidak benar).
DC = AB - AE - EB, di mana AE adalah bagian dari AB, dan EB adalah bagian dari AB.
DC = AB - (panjang proyeksi AD ke AB) - (panjang proyeksi BC ke AB).
Karena trapesium sama kaki, proyeksi AD ke AB adalah AE, dan proyeksi BC ke AB adalah BE. Dan AE = BE.
AB = AE + EB + EF = AE + EB + DC = 2*AE + DC.
AB = 2*AE + 10.
Kita tahu AB = AN + NB = 9 + NB.
Dan AE = NB.
Jadi, 9 + NB = 2*NB + 10.
NB = 9 - 10 = -1. Ini tidak mungkin.

Mari kita gunakan koordinat.
Misalkan N = (0, 0).
Karena DN tegak lurus AB, maka AB pada sumbu x. D pada sumbu y.
N = (0, 0).
A = (-9, 0).
D = (0, 12).
AD^2 = (-9-0)^2 + (0-12)^2 = 81 + 144 = 225. AD = 15. (Cocok)
AB sejajar DC. N di AB. A=(-9,0), N=(0,0). Maka B=(x_B, 0). AB = 9 + x_B.
Karena AB sejajar DC, dan N=(0,0), D=(0,12).
DC = 10. D=(0,12). C = (x_C, y_C).
Karena AB sejajar DC, maka y_C = 12 (tinggi trapesium).
C = (x_C, 12).
Jarak DC = 10. Maka |x_C - 0| = 10. Jadi x_C = 10 atau x_C = -10.
Karena ABCD adalah trapesium, maka urutan titiknya penting.
Jika A=(-9,0), N=(0,0), B=(b,0).
DC = 10. D=(0,12). C=(c,12).
Jarak DC = |c - 0| = 10. Jadi c = 10 atau c = -10.
Karena ABCD trapesium, maka A,B di bawah dan D,C di atas, atau sebaliknya.
Karena AD=15, DN=12, AN=9, maka D ada di atas N.
Misal AB di sumbu x, N di (0,0).
A di (-9,0), B di (b,0).
D di (0,12).
DC = 10. C di (c, 12).
Jarak DC = |c - 0| = 10. c = 10 atau c = -10.
Karena ABCD adalah trapesium, maka C harus di sisi yang 'sama' dengan B relatif terhadap D dan A.
Jika A=(-9,0), D=(0,12), maka C harus memiliki koordinat x yang lebih besar dari D jika B memiliki koordinat x lebih besar dari A.
Jika B=(b,0), maka AB sejajar DC.
Jarak AD = 15. Jarak BC = 15.
Jarak BC = sqrt((b-c)^2 + (0-12)^2) = 15.
(b-c)^2 + 144 = 225.
(b-c)^2 = 81.
b-c = 9 atau b-c = -9.

Kasus 1: c = 10. (D=(0,12), C=(10,12))
   b - 10 = 9  => b = 19. Maka B=(19,0).
   AB = 9 + 19 = 28. DC = 10. Ini trapesium.
   Periksa AD = 15. A=(-9,0), D=(0,12). AD = sqrt((-9-0)^2 + (0-12)^2) = sqrt(81+144) = 15. (Ok)
   Periksa BC = 15. B=(19,0), C=(10,12). BC = sqrt((19-10)^2 + (0-12)^2) = sqrt(9^2 + (-12)^2) = sqrt(81+144) = 15. (Ok)
   Dalam kasus ini, N=(0,0), A=(-9,0). AN = 9.
   DB = sqrt((19-0)^2 + (0-12)^2) = sqrt(19^2 + (-12)^2) = sqrt(361 + 144) = sqrt(505).

Kasus 2: c = -10. (D=(0,12), C=(-10,12))
   b - (-10) = 9 => b = -1. Maka B=(-1,0).
   AB = |-1 - (-9)| = 8. DC = |-10 - 0| = 10. Ini trapesium.
   Periksa AD = 15. A=(-9,0), D=(0,12). AD = 15. (Ok)
   Periksa BC = 15. B=(-1,0), C=(-10,12). BC = sqrt((-1 - (-10))^2 + (0-12)^2) = sqrt(9^2 + (-12)^2) = sqrt(81+144) = 15. (Ok)
   Dalam kasus ini, N=(0,0), A=(-9,0). AN = 9.
   DB = sqrt((-1-0)^2 + (0-12)^2) = sqrt((-1)^2 + (-12)^2) = sqrt(1 + 144) = sqrt(145).

Kasus 3: c = 10. (D=(0,12), C=(10,12))
   b - 10 = -9 => b = 1. Maka B=(1,0).
   AB = |1 - (-9)| = 10. DC = 10. Ini jajargenjang, bukan trapesium (kecuali jika AD=BC).
   Periksa AD = 15. A=(-9,0), D=(0,12). AD = 15. (Ok)
   Periksa BC = 15. B=(1,0), C=(10,12). BC = sqrt((1-10)^2 + (0-12)^2) = sqrt((-9)^2 + (-12)^2) = sqrt(81+144) = 15. (Ok)
   Dalam kasus ini, N=(0,0), A=(-9,0). AN = 9.
   DB = sqrt((1-0)^2 + (0-12)^2) = sqrt(1^2 + (-12)^2) = sqrt(1+144) = sqrt(145).

Kasus 4: c = -10. (D=(0,12), C=(-10,12))
   b - (-10) = -9 => b = -19. Maka B=(-19,0).
   AB = |-19 - (-9)| = |-10| = 10. DC = |-10 - 0| = 10. Ini jajargenjang.
   Periksa AD = 15. A=(-9,0), D=(0,12). AD = 15. (Ok)
   Periksa BC = 15. B=(-19,0), C=(-10,12). BC = sqrt((-19 - (-10))^2 + (0-12)^2) = sqrt((-9)^2 + (-12)^2) = sqrt(81+144) = 15. (Ok)
   Dalam kasus ini, N=(0,0), A=(-9,0). AN = 9.
   DB = sqrt((-19-0)^2 + (0-12)^2) = sqrt((-19)^2 + (-12)^2) = sqrt(361+144) = sqrt(505).

Kita harus memilih kasus yang masuk akal untuk trapesium ABCD.
Dengan A=(-9,0), N=(0,0).
Jika N di AB, maka B harus memiliki koordinat x yang lebih besar dari A jika N di antara A dan B, atau lebih kecil jika B di antara A dan N.

Mari kita kembali ke informasi awal: ABCD adalah trapesium dengan AB sejajar DC. N sebuah titik pada AB sedemikian sehingga sudut DNA=90.
AD=15 cm, DN=12 cm, DC=10 cm.
a. Panjang AN:
Dalam segitiga siku-siku DNA, AD adalah hipotenusa. AN^2 + DN^2 = AD^2
AN^2 + 12^2 = 15^2
AN^2 + 144 = 225
AN^2 = 81
AN = 9 cm.

b. Panjang DB:
Kita perlu mencari panjang NB untuk menghitung DB.
Karena AB sejajar DC, dan DN tegak lurus AB, maka DN juga tegak lurus DC (garis sejajar AB).
Ini berarti sudut DNC = 90 derajat.
Dalam segitiga siku-siku DNC: DN^2 + NC^2 = DC^2. Ini tidak benar karena N adalah titik pada AB, bukan pada DC.

Karena AB sejajar DC, dan DN tegak lurus AB, maka DN adalah tinggi trapesium jika D dan C berada pada garis yang sama paralel terhadap AB.
Tetapi DC adalah sisi.

Karena AB sejajar DC, maka tinggi trapesium adalah jarak antara AB dan DC. DN=12 cm.
Tarik garis tinggi dari D ke AB, yang adalah DN=12 cm. Titik N pada AB.
Karena ABCD trapesium sama kaki, AD=BC=15.
Tarik garis tinggi dari C ke AB, sebut titik E. Maka CE = DN = 12 cm.
Dalam segitiga siku-siku CEB, CB=15, CE=12. Maka EB^2 = CB^2 - CE^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81. EB = 9 cm.
Karena trapesium sama kaki, maka AE = NB.
Kita punya AN = 9 cm.
AB = AN + NB = 9 + NB.
Juga, AB = AE + EB. Karena AE = NB, maka AB = NB + EB = NB + 9.
Jadi, 9 + NB = NB + 9. Ini tidak membantu.

Perhatikan bahwa kita tahu AE = NB dan EB = 9.
AB = AN + NB = 9 + NB.
AB = AE + EB = NB + 9.
Ini konsisten.
Sekarang, kita tahu DC = 10.
Dalam trapesium sama kaki, AB = DC + 2*AE (jika AE adalah proyeksi sisi miring ke alas yang lebih panjang).
Atau AB = DC + 2*EB (jika EB adalah proyeksi sisi miring ke alas yang lebih panjang).
Dalam kasus ini, AB adalah alas yang lebih panjang karena N di AB dan DN tegak lurus AB.
Jika AB adalah alas yang lebih panjang, maka AB = DC + 2*EB.
AB = 10 + 2*9 = 10 + 18 = 28 cm.
Kita tahu AB = AN + NB = 9 + NB.
Jadi, 28 = 9 + NB.
NB = 28 - 9 = 19 cm.

Sekarang kita bisa mencari DB. Segitiga DNB siku-siku di N.
DN = 12 cm, NB = 19 cm.
DB^2 = DN^2 + NB^2
DB^2 = 12^2 + 19^2
DB^2 = 144 + 361
DB^2 = 505
DB = sqrt(505) cm.

Periksa konsistensi lain: AE = NB = 19 cm. AB = AE + EB = 19 + 9 = 28 cm. (Ok)
AD = 15. AN = 9, DN = 12. Segitiga DNA siku-siku di N.
BC = 15. CE = 12, EB = 9. Segitiga CEB siku-siku di E.
DC = 10.
AB = 28.
Ini adalah trapesium sama kaki dengan tinggi 12.
Namun, N adalah titik pada AB sedemikian sehingga sudut DNA=90. AN=9. DN=12. AD=15.
Jika kita tarik garis tinggi dari D ke AB, titiknya adalah N.
Jika kita tarik garis tinggi dari C ke AB, titiknya adalah E.
Karena trapesium sama kaki, AE = NB.
Kita temukan EB = 9.
Kita tahu AN = 9.
AB = AN + NB = 9 + NB.
AB = AE + EB = NB + 9.
Ini berarti AN = EB = 9.
Jadi, jika AN = 9 dan EB = 9, maka AB = 9 + NB.
Dan DC = 10.
Dalam trapesium sama kaki, AB = DC + 2*EB (jika EB adalah proyeksi sisi miring ke alas yang lebih panjang).
AB = 10 + 2*9 = 28.
Kita punya AB = AN + NB = 9 + NB.
Jadi, 28 = 9 + NB.
NB = 19.
Ini konsisten. Jadi NB = 19 cm.

Maka panjang DB = sqrt(DN^2 + NB^2) = sqrt(12^2 + 19^2) = sqrt(144 + 361) = sqrt(505) cm.