Rumus umum suku ke-n dari barisan bilangan 0, 2, 5, 9, 14,

$Un = (1/2)n^2 + (1/2)n - 1$

Pembahasan

Untuk mencari rumus umum suku ke-n dari barisan bilangan 0, 2, 5, 9, 14, ..., kita perlu menganalisis pola perbedaan antara suku-suku yang berurutan.

Perbedaan tingkat pertama:
2 - 0 = 2
5 - 2 = 3
9 - 5 = 4
14 - 9 = 5

Karena perbedaan tingkat pertama tidak konstan, kita lihat perbedaan tingkat kedua:
3 - 2 = 1
4 - 3 = 1
5 - 4 = 1

Karena perbedaan tingkat kedua konstan (yaitu 1), barisan ini adalah barisan kuadratik dengan rumus umum berbentuk $Un = an^2 + bn + c$.

Untuk $n=1$, $U1 = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 0$
Untuk $n=2$, $U2 = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c = 2$
Untuk $n=3$, $U3 = a(3)^2 + b(3) + c = 9a + 3b + c = 5

Kita dapat menggunakan sistem persamaan linear untuk menemukan nilai a, b, dan c:
(2) - (1): $(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 2 - 0 
 3a + b = 2$ (Persamaan 4)
(3) - (2): $(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 5 - 2
 5a + b = 3$ (Persamaan 5)

Sekarang kurangkan Persamaan 4 dari Persamaan 5:
$(5a + b) - (3a + b) = 3 - 2
 2a = 1 
 a = 1/2$

Substitusikan $a = 1/2$ ke Persamaan 4:
$3(1/2) + b = 2
 3/2 + b = 2
 b = 2 - 3/2
 b = 4/2 - 3/2
 b = 1/2$

Substitusikan $a = 1/2$ dan $b = 1/2$ ke Persamaan 1:
$1/2 + 1/2 + c = 0
 1 + c = 0
 c = -1$

Jadi, rumus umum suku ke-n adalah $Un = (1/2)n^2 + (1/2)n - 1$.

Mari kita verifikasi:
Untuk $n=1$, $U1 = (1/2)(1)^2 + (1/2)(1) - 1 = 1/2 + 1/2 - 1 = 0$
Untuk $n=2$, $U2 = (1/2)(2)^2 + (1/2)(2) - 1 = (1/2)(4) + 1 - 1 = 2$
Untuk $n=3$, $U3 = (1/2)(3)^2 + (1/2)(3) - 1 = (1/2)(9) + 3/2 - 1 = 9/2 + 3/2 - 1 = 12/2 - 1 = 6 - 1 = 5$
Untuk $n=4$, $U4 = (1/2)(4)^2 + (1/2)(4) - 1 = (1/2)(16) + 2 - 1 = 8 + 2 - 1 = 9$
Untuk $n=5$, $U5 = (1/2)(5)^2 + (1/2)(5) - 1 = (1/2)(25) + 5/2 - 1 = 25/2 + 5/2 - 1 = 30/2 - 1 = 15 - 1 = 14$

Rumus tersebut sudah benar.