Salah akar persamaan x^3+3x^2-16x+k=0 adalah dua kali akar

-12

Pembahasan

Misalkan akar-akar persamaan kubik $x^3+3x^2-16x+k=0$ adalah $\alpha$, $\beta$, dan $\gamma$.
Menurut Vieta:
Jumlah akar-akar: $\alpha + \beta + \gamma = -3/1 = -3$
Jumlah hasil kali akar berpasangan: $\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma = -16/1 = -16$
Hasil kali akar-akar: $\alpha\beta\gamma = -k/1 = -k$

Diketahui bahwa salah satu akar adalah dua kali akar lainnya. Misalkan $\beta = 2\alpha$.

Substitusikan $\beta = 2\alpha$ ke dalam persamaan jumlah akar-akar:
$\alpha + 2\alpha + \gamma = -3$
$3\alpha + \gamma = -3$
$\gamma = -3 - 3\alpha$

Substitusikan $\beta = 2\alpha$ dan $\gamma = -3 - 3\alpha$ ke dalam persamaan jumlah hasil kali akar berpasangan:
$\alpha(2\alpha) + \alpha(-3 - 3\alpha) + (2\alpha)(-3 - 3\alpha) = -16$
$2\alpha^2 - 3\alpha - 3\alpha^2 - 6\alpha - 6\alpha^2 = -16$
$-7\alpha^2 - 9\alpha = -16$
$7\alpha^2 + 9\alpha - 16 = 0$

Kita dapat memfaktorkan persamaan kuadrat ini:
$(7\alpha + 16)(\alpha - 1) = 0$

Maka, $\alpha = 1$ atau $\alpha = -16/7$.

Karena ketiga akar-akar itu bilangan bulat, maka $\alpha = 1$.

Jika $\alpha = 1$, maka:
$\beta = 2\alpha = 2(1) = 2$
$\gamma = -3 - 3\alpha = -3 - 3(1) = -3 - 3 = -6$

Ketiga akar adalah 1, 2, dan -6. Ketiganya adalah bilangan bulat.

Hasil kali ketiga akar adalah $\alpha\beta\gamma = (1)(2)(-6) = -12$.

Karena $\alpha\beta\gamma = -k$, maka $-k = -12$, sehingga $k = 12$.

Hasil kali ketiga akar itu adalah -12.