Salah satu akar persamaan x^4-5x^3+5x^2+5x-6=0 adalah 2.

Jumlah akar-akar yang lain adalah 3.

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 = 0. Diketahui salah satu akarnya adalah 2.

Jika x=2 adalah akar, maka (x-2) adalah faktor dari polinomial tersebut. Kita dapat menggunakan pembagian polinomial atau metode Horner untuk menemukan hasil bagi.

Menggunakan metode Horner:
Koefisien polinomial: 1, -5, 5, 5, -6

  2 | 1  -5   5   5  -6
    |    2  -6  -2   6
    ------------------
      1  -3  -1   3   0

Hasil baginya adalah polinomial berderajat 3 dengan koefisien 1, -3, -1, 3. Sehingga persamaan baru yang akarnya adalah akar-akar yang lain adalah:
x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0

Kita dapat mencari akar dari persamaan kubik ini. Coba kita faktorkan:
Kelompokkan suku-suku:
(x^3 - 3x^2) - (x - 3) = 0
x^2(x - 3) - 1(x - 3) = 0
(x^2 - 1)(x - 3) = 0
(x - 1)(x + 1)(x - 3) = 0

Akar-akar dari persamaan kubik ini adalah x = 1, x = -1, dan x = 3.

Jadi, akar-akar yang lain dari persamaan asli adalah 1, -1, dan 3.

Jumlah akar-akar yang lain adalah 1 + (-1) + 3 = 3.

Alternatif lain menggunakan Teorema Vieta:
Untuk persamaan polinomial P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 = 0, jumlah semua akar adalah -a_{n-1}/a_n.
Dalam kasus ini, n=4, a_4=1, a_3=-5.
Jumlah semua akar (termasuk akar 2) = -(-5)/1 = 5.

Misalkan akar-akarnya adalah r1, r2, r3, r4. Diketahui r1 = 2.
Jumlah semua akar = r1 + r2 + r3 + r4 = 5.
2 + r2 + r3 + r4 = 5.
Jumlah akar-akar yang lain = r2 + r3 + r4 = 5 - 2 = 3.

Jadi, jumlah akar-akar yang lain dari persamaan tersebut adalah 3.