Salah satu nilai p yang memenuhi persamaan integral p pi

Salah satu nilai p yang memenuhi adalah 2π/3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan integral $\int p \pi \cos(2x) dx = -\frac{1}{4}\sqrt{3}$, pertama-tama kita perlu mengevaluasi integral tak tentu dari $p \pi \cos(2x)$.

Konstanta $p \pi$ dapat dikeluarkan dari integral:
$p \pi \int \cos(2x) dx$

Untuk mengintegralkan $\cos(2x)$, kita bisa menggunakan substitusi atau langsung mengenali polanya. Jika kita gunakan substitusi $u = 2x$, maka $du = 2 dx$, sehingga $dx = \frac{1}{2} du$.

$\int \cos(u) \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \cos(u) du = \frac{1}{2} \sin(u) + C$

Ganti kembali $u = 2x$:
$rac{1}{2} \sin(2x) + C$

Sekarang, kalikan dengan konstanta $p \pi$:
$p \pi \left( \frac{1}{2} \sin(2x) \right) + C = \frac{p \pi}{2} \sin(2x) + C$

Soal ini tampaknya menyiratkan integral tentu karena ada batas atas dan bawah yang tidak disebutkan secara eksplisit, atau mungkin 'p' adalah bagian dari batas integrasi. Namun, jika diasumsikan bahwa $\pi$ adalah batas atas integrasi dan batas bawahnya adalah 0 (yang umum dalam konteks ini jika tidak disebutkan), maka integralnya menjadi:

$\int_{0}^{\pi} p \pi \cos(2x) dx$

Mari kita evaluasi integral tentu ini:

$[\frac{p \pi}{2} \sin(2x)]_{0}^{\pi} = \frac{p \pi}{2} \sin(2\pi) - \frac{p \pi}{2} \sin(0)$

Karena $\sin(2\pi) = 0$ dan $\sin(0) = 0$, maka hasil integralnya adalah:

$\frac{p \pi}{2}(0) - \frac{p \pi}{2}(0) = 0$

Hasil ini (0) tidak sama dengan $-\frac{1}{4}\sqrt{3}$. Ini menunjukkan ada kemungkinan interpretasi lain dari soal tersebut.

Jika 'p' adalah batas atas integrasi dan batas bawahnya adalah 0, dan konstanta $\pi$ di luar integral adalah bagian dari $dx$ (yaitu $\int p 	extrm{ cos}(2x) 	extrm{ } p	extrm{ } 	extit{pi} dx$ yang tidak mungkin), atau jika $\pi$ adalah batas atas dan konstanta $p$ adalah bagian dari fungsi yang diintegralkan:

Misalkan persamaannya adalah: $\int_{0}^{a} p 	extrm{ cos}(2x) dx = -\frac{1}{4}\sqrt{3}$, di mana $a$ adalah batas atas.

Atau, jika soalnya adalah $\int_{0}^{p} 	extrm{cos}(2x) dx = -\frac{1}{4}\sqrt{3}$. Mari kita coba interpretasi ini:

$[rac{1}{2} \sin(2x)]_{0}^{p} = -\frac{1}{4}\sqrt{3}$

$\frac{1}{2} \sin(2p) - \frac{1}{2} \sin(0) = -\frac{1}{4}\sqrt{3}$

$\frac{1}{2} \sin(2p) - 0 = -\frac{1}{4}\sqrt{3}$

$\sin(2p) = 2 \times (-\frac{1}{4}\sqrt{3})$

$\sin(2p) = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$

Kita tahu bahwa $\sin(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ ketika $\theta = \frac{4\pi}{3}$ atau $\theta = \frac{5\pi}{3}$ (dalam interval $[0, 2\pi]$), dan sudut-sudut lain yang berkorespondensi.

Jadi, $2p = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$ atau $2p = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi$, di mana $k$ adalah bilangan bulat.

Membagi dengan 2:
$p = \frac{2\pi}{3} + k\pi$ atau $p = \frac{5\pi}{6} + k\pi$

Jika kita mencari salah satu nilai $p$, kita bisa memilih $k=0$. Maka, $p = \frac{2\pi}{3}$ atau $p = \frac{5\pi}{6}$.

Mari kita cek interpretasi soal asli: "salah satu nilai p yang memenuhi persamaan integral p pi cos 2x dx=-1/4 akar(3)". Ini bisa berarti batas atasnya adalah 'p', dan ada konstanta $\pi$. Atau konstanta $\pi$ adalah bagian dari fungsi, dan batasnya adalah 'p'. Interpretasi $\int_{0}^{p} 	extrm{cos}(2x) dx$ tampaknya paling masuk akal untuk menghasilkan nilai non-nol.

Jika konstanta $p	extrm{ }	extit{pi}$ adalah faktor pengali dan batas integrasi adalah dari 0 sampai $a$, maka $\frac{p 	extit{pi}}{2} \sin(2a) = -\frac{1}{4}\sqrt{3}$. Ini masih melibatkan 'a'.

Kembali ke interpretasi $\sin(2p) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Nilai $p = \frac{2\pi}{3}$ memberikan $\sin(2 \times \frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ini cocok.
Nilai $p = \frac{5\pi}{6}$ memberikan $\sin(2 \times \frac{5\pi}{6}) = \sin(\frac{5\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ini juga cocok.

Jadi, salah satu nilai $p$ yang memenuhi adalah $\frac{2\pi}{3}$ atau $\frac{5\pi}{6}$.