Salah satu nilai x yang memenuhi persamaan

225° atau 315°

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan persamaan trigonometri cos(2x) + √2 sin(x) + 1 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360 derajat.

Gunakan identitas trigonometri cos(2x) = 1 - 2sin²(x).
Substitusikan identitas ini ke dalam persamaan:
(1 - 2sin²(x)) + √2 sin(x) + 1 = 0
-2sin²(x) + √2 sin(x) + 2 = 0
Kalikan seluruh persamaan dengan -1 untuk memudahkan:
2sin²(x) - √2 sin(x) - 2 = 0

Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk sin(x). Misalkan y = sin(x).
Maka persamaannya menjadi:
2y² - √2 y - 2 = 0

Gunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai y:
y = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a
y = [√2 ± (√2)² - 4 * 2 * -2)] / (2 * 2)
y = [√2 ± (2 + 16)] / 4
y = [√2 ± √18] / 4
y = [√2 ± 3√2] / 4

Kita mendapatkan dua kemungkinan nilai untuk y (sin(x)):
1. y₁ = (√2 + 3√2) / 4 = 4√2 / 4 = √2
2. y₂ = (√2 - 3√2) / 4 = -2√2 / 4 = -√2 / 2

Sekarang kita analisis kedua kasus:
Kasus 1: sin(x) = √2
Nilai √2 kira-kira 1.414. Karena nilai maksimum sin(x) adalah 1, maka tidak ada solusi real untuk sin(x) = √2.

Kasus 2: sin(x) = -√2 / 2
Nilai -√2 / 2 adalah -0.707.
Kita mencari sudut x (antara 0 dan 360 derajat) di mana nilai sinusnya adalah -√2 / 2.
Nilai sinus negatif berada di kuadran III dan IV.
Sudut referensi di mana sin(θ) = √2 / 2 adalah 45 derajat.

Di kuadran III, sudutnya adalah 180° + 45° = 225°.
Di kuadran IV, sudutnya adalah 360° - 45° = 315°.

Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi persamaan adalah 225° dan 315°.
Soal meminta salah satu nilai x.

Salah satu nilai x yang memenuhi persamaan adalah 225° atau 315°.