Salah satu persamaan garis singgung lingkaran

Persamaan garis singgungnya adalah $x+3y-19=0$ atau $x+3y+1=0$.

Pembahasan

Untuk menemukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-6x-4y+3=0$ yang tegak lurus terhadap garis $3x-y-2=0$, kita perlu melakukan beberapa langkah:

1.  **Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran:**
    Persamaan lingkaran umum adalah $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$, di mana $(h,k)$ adalah pusat dan $r$ adalah jari-jari.
    Kita ubah persamaan yang diberikan ke bentuk ini dengan melengkapkan kuadrat:
    $(x^2 - 6x) + (y^2 - 4y) = -3$
    $(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 4y + 4) = -3 + 9 + 4$
    $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 10$
    Jadi, pusat lingkaran adalah $(h,k) = (3,2)$ dan jari-jarinya adalah $r = \sqrt{10}$.

2.  **Tentukan gradien garis singgung:**
Garis yang diberikan adalah $3x-y-2=0$. Kita ubah ke bentuk gradien-intersep ($y=mx+c$):
$y = 3x - 2$
Gradien garis ini adalah $m_1 = 3$.
Karena garis singgung tegak lurus terhadap garis ini, gradien garis singgung ($m_{gs}$) adalah negatif kebalikan dari gradien garis tersebut:
$m_{gs} = -1/m_1 = -1/3$.

3.  **Gunakan rumus garis singgung lingkaran:**
Persamaan garis singgung lingkaran $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ yang memiliki gradien $m$ adalah:
$y-k = m(x-h) \pm r\sqrt{1+m^2}$
Substitusikan nilai $h=3$, $k=2$, $r=\sqrt{10}$, dan $m_{gs}=-1/3$:
$y-2 = (-1/3)(x-3) \pm \sqrt{10}\sqrt{1+(-1/3)^2}$
$y-2 = (-1/3)(x-3) \pm \sqrt{10}\sqrt{1+1/9}$
$y-2 = (-1/3)(x-3) \pm \sqrt{10}\sqrt{10/9}$
$y-2 = (-1/3)(x-3) \pm \sqrt{10} \times \frac{\sqrt{10}}{3}$
$y-2 = (-1/3)(x-3) \pm 10/3$

Sekarang, kita bisa menyederhanakan persamaan ini untuk mendapatkan bentuk standar:
Kalikan seluruh persamaan dengan 3:
$3(y-2) = -1(x-3) \pm 10$
$3y - 6 = -x + 3 \pm 10$

Kita akan memiliki dua kemungkinan persamaan:

a) $3y - 6 = -x + 3 + 10$
   $3y - 6 = -x + 13$
   $x + 3y - 19 = 0$

b) $3y - 6 = -x + 3 - 10$
   $3y - 6 = -x - 7$
   $x + 3y + 1 = 0$

Jadi, salah satu persamaan garis singgung lingkaran tersebut yang tegak lurus dengan garis $3x-y-2=0$ adalah $x+3y-19=0$ atau $x+3y+1=0$.