Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathKalkulus

Sebuah benda bergerak sepanjang kurva dengan kecepatan

Pertanyaan

Sebuah benda bergerak sepanjang kurva dengan kecepatan v(cm/s) , jarak s(cm) , waktu t(s) , dan percepatan a(cm/s^2) . Jika a=6t-24, vo=30, dan so=-30 , tentukan:a. persamaan v dan s ;b. t pada saat v=0 ;c. t pada saat v =/= 0 .

Solusi

Verified

a. $v(t) = 3t^2 - 24t + 30$, $s(t) = t^3 - 12t^2 + 30t - 30$. b. $t = 4 \pm \sqrt{6}$ detik. c. $t \ge 0$ dan $t \neq 4 \pm \sqrt{6}$ detik.

Pembahasan

Diberikan percepatan $a(t) = 6t - 24$, dengan kecepatan awal $v_0 = 30$ dan posisi awal $s_0 = -30$. a. Mencari persamaan $v(t)$ dan $s(t)$: Kecepatan adalah integral dari percepatan terhadap waktu: $v(t) = \int a(t) dt = \int (6t - 24) dt$ $v(t) = 3t^2 - 24t + C_1$ Menggunakan kondisi awal $v(0) = 30$: $30 = 3(0)^2 - 24(0) + C_1$ $30 = C_1$ Jadi, persamaan kecepatan adalah $v(t) = 3t^2 - 24t + 30$. Posisi adalah integral dari kecepatan terhadap waktu: $s(t) = \int v(t) dt = \int (3t^2 - 24t + 30) dt$ $s(t) = t^3 - 12t^2 + 30t + C_2$ Menggunakan kondisi awal $s(0) = -30$: $-30 = (0)^3 - 12(0)^2 + 30(0) + C_2$ $-30 = C_2$ Jadi, persamaan posisi adalah $s(t) = t^3 - 12t^2 + 30t - 30$. b. Mencari $t$ pada saat $v = 0$: Kita atur $v(t) = 0$: $3t^2 - 24t + 30 = 0$ Bagi seluruh persamaan dengan 3: $t^2 - 8t + 10 = 0$ Kita gunakan rumus kuadrat $t = [-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}] / 2a$, dengan $a=1$, $b=-8$, $c=10$: $t = [8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(10)}] / 2(1)$ $t = [8 \pm \sqrt{64 - 40}] / 2$ $t = [8 \pm \sqrt{24}] / 2$ $t = [8 \pm 2\sqrt{6}] / 2$ $t = 4 \pm \sqrt{6}$ Jadi, waktu saat $v=0$ adalah $t = 4 + \sqrt{6}$ detik dan $t = 4 - \sqrt{6}$ detik. c. Mencari $t$ pada saat $v \neq 0$: Dari bagian b, kita sudah menemukan bahwa $v=0$ terjadi pada $t = 4 \pm \sqrt{6}$. Oleh karena itu, $v \neq 0$ terjadi pada semua waktu lain. Namun, dalam konteks fisika, waktu biasanya dimulai dari $t \ge 0$. Jadi, $v \neq 0$ untuk $t \ge 0$ dan $t \neq 4 - \sqrt{6}$ dan $t \neq 4 + \sqrt{6}$. Jika kita diminta waktu di mana kecepatan tidak nol, itu berarti semua waktu kecuali $t = 4 - \sqrt{6}$ dan $t = 4 + \sqrt{6}$. Karena $4 - \sqrt{6} \approx 4 - 2.45 = 1.55 > 0$ dan $4 + \sqrt{6} \approx 4 + 2.45 = 6.45 > 0$, kedua nilai waktu tersebut berada dalam domain waktu yang memungkinkan ($t \ge 0$). Ringkasan: a. $v(t) = 3t^2 - 24t + 30$, $s(t) = t^3 - 12t^2 + 30t - 30$ b. $t = 4 \pm \sqrt{6}$ detik c. $t \ge 0$ dan $t \neq 4 \pm \sqrt{6}$ detik

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Integral
Section: Aplikasi Integral Dalam Fisika

Apakah jawaban ini membantu?