Sebuah benda bergerak sepanjang kurva dengan kecepatan

a. $v(t) = 3t^2 - 24t + 30$, $s(t) = t^3 - 12t^2 + 30t - 30$. b. $t = 4 \pm \sqrt{6}$ detik. c. $t \ge 0$ dan $t \neq 4 \pm \sqrt{6}$ detik.

Pembahasan

Diberikan percepatan $a(t) = 6t - 24$, dengan kecepatan awal $v_0 = 30$ dan posisi awal $s_0 = -30$. 

a. Mencari persamaan $v(t)$ dan $s(t)$:
Kecepatan adalah integral dari percepatan terhadap waktu:
$v(t) = \int a(t) dt = \int (6t - 24) dt$
$v(t) = 3t^2 - 24t + C_1$

Menggunakan kondisi awal $v(0) = 30$:
$30 = 3(0)^2 - 24(0) + C_1$
$30 = C_1$

Jadi, persamaan kecepatan adalah $v(t) = 3t^2 - 24t + 30$.

Posisi adalah integral dari kecepatan terhadap waktu:
$s(t) = \int v(t) dt = \int (3t^2 - 24t + 30) dt$
$s(t) = t^3 - 12t^2 + 30t + C_2$

Menggunakan kondisi awal $s(0) = -30$:
$-30 = (0)^3 - 12(0)^2 + 30(0) + C_2$
$-30 = C_2$

Jadi, persamaan posisi adalah $s(t) = t^3 - 12t^2 + 30t - 30$.

b. Mencari $t$ pada saat $v = 0$:
Kita atur $v(t) = 0$:
$3t^2 - 24t + 30 = 0$
Bagi seluruh persamaan dengan 3:
$t^2 - 8t + 10 = 0$
Kita gunakan rumus kuadrat $t = [-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}] / 2a$, dengan $a=1$, $b=-8$, $c=10$:
$t = [8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(10)}] / 2(1)$
$t = [8 \pm \sqrt{64 - 40}] / 2$
$t = [8 \pm \sqrt{24}] / 2$
$t = [8 \pm 2\sqrt{6}] / 2$
$t = 4 \pm \sqrt{6}$
Jadi, waktu saat $v=0$ adalah $t = 4 + \sqrt{6}$ detik dan $t = 4 - \sqrt{6}$ detik.

c. Mencari $t$ pada saat $v \neq 0$:
Dari bagian b, kita sudah menemukan bahwa $v=0$ terjadi pada $t = 4 \pm \sqrt{6}$. Oleh karena itu, $v \neq 0$ terjadi pada semua waktu lain. Namun, dalam konteks fisika, waktu biasanya dimulai dari $t \ge 0$.
Jadi, $v \neq 0$ untuk $t \ge 0$ dan $t \neq 4 - \sqrt{6}$ dan $t \neq 4 + \sqrt{6}$.
Jika kita diminta waktu di mana kecepatan tidak nol, itu berarti semua waktu kecuali $t = 4 - \sqrt{6}$ dan $t = 4 + \sqrt{6}$.
Karena $4 - \sqrt{6} \approx 4 - 2.45 = 1.55 > 0$ dan $4 + \sqrt{6} \approx 4 + 2.45 = 6.45 > 0$, kedua nilai waktu tersebut berada dalam domain waktu yang memungkinkan ($t \ge 0$).

Ringkasan:
a. $v(t) = 3t^2 - 24t + 30$, $s(t) = t^3 - 12t^2 + 30t - 30$
b. $t = 4 \pm \sqrt{6}$ detik
c. $t \ge 0$ dan $t \neq 4 \pm \sqrt{6}$ detik