Sebuah bola jatuh dari ketinggian 2,5 meter dan memantul

10 meter

Pembahasan

Ini adalah masalah deret geometri tak hingga. Bola memantul dengan ketinggian yang berkurang secara proporsional setiap kali memantul.

Diketahui:
Ketinggian awal ($h_0$) = 2,5 meter.
Rasio ketinggian pantulan terhadap ketinggian sebelumnya ($r$) = 3/5.

Lintasan bola terdiri dari jarak turun awal, kemudian jarak naik dan turun pada setiap pantulan.

Jarak turun awal = 2,5 m.

Lintasan naik setelah pantulan pertama = $h_1 = h_0 	imes r = 2.5 	imes (3/5)$.
Lintasan turun setelah pantulan pertama = $h_1 = 2.5 	imes (3/5)$.

Lintasan naik setelah pantulan kedua = $h_2 = h_1 	imes r = h_0 	imes r^2 = 2.5 	imes (3/5)^2$.
Lintasan turun setelah pantulan kedua = $h_2 = 2.5 	imes (3/5)^2$.

Dan seterusnya.

Total jarak lintasan bola = Jarak turun awal + (Jarak naik pantulan 1 + Jarak turun pantulan 1) + (Jarak naik pantulan 2 + Jarak turun pantulan 2) + ...
Total jarak = $h_0 + 2h_1 + 2h_2 + 2h_3 + ...$
Total jarak = $h_0 + 2(h_1 + h_2 + h_3 + ...)$

Deret $h_1 + h_2 + h_3 + ...$ adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a = h_1 = 2.5 	imes (3/5) = 1.5$ meter, dan rasio $r = 3/5$.

Jumlah deret geometri tak hingga adalah $S = a / (1 - r)$, asalkan $|r| < 1$.
Dalam kasus ini, $|3/5| < 1$, jadi jumlahnya konvergen.

$S = 1.5 / (1 - 3/5) = 1.5 / (2/5) = 1.5 	imes (5/2) = (3/2) 	imes (5/2) = 15/4 = 3.75$ meter.

Ini adalah jumlah dari semua ketinggian pantulan (naik dan turun setelah pantulan pertama).

Total jarak lintasan bola = Jarak turun awal + 2 * (Jumlah ketinggian pantulan)
Total jarak = $h_0 + 2 	imes S$
Total jarak = $2.5 + 2 	imes 3.75$
Total jarak = $2.5 + 7.5$
Total jarak = 10 meter.

Cara lain:
Jarak turun = $2.5 + 2.5(3/5) + 2.5(3/5)^2 + ... = 2.5 / (1 - 3/5) = 2.5 / (2/5) = 2.5 	imes 5/2 = 12.5 / 2 = 6.25$ m.
Jarak naik = $2.5(3/5) + 2.5(3/5)^2 + ... = (2.5 	imes 3/5) / (1 - 3/5) = 1.5 / (2/5) = 1.5 	imes 5/2 = 7.5 / 2 = 3.75$ m.
Total jarak = Jarak turun + Jarak naik = $6.25 + 3.75 = 10$ meter.