Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8 cm. Jarak tititk E ke

16√3 / 3 cm

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik E ke bidang BGD pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm, kita dapat menggunakan konsep proyeksi vektor atau geometri analitik.

Misalkan kita tempatkan titik A pada (0,0,0). Maka koordinat titik-titik lainnya adalah:
A = (0,0,0)
B = (8,0,0)
C = (8,8,0)
D = (0,8,0)
E = (0,0,8)
F = (8,0,8)
G = (8,8,8)
H = (0,8,8)

Bidang BGD dibentuk oleh vektor BG dan BD.
BG = G - B = (8,8,8) - (8,0,0) = (0,8,8)
BD = D - B = (0,8,0) - (8,0,0) = (-8,8,0)

Untuk mencari jarak titik E ke bidang BGD, kita perlu mencari persamaan bidang BGD. Normal vektor (n) dari bidang BGD dapat dicari dengan perkalian silang vektor BG dan BD:
n = BG × BD = (0,8,8) × (-8,8,0)
n = ( (8*0 - 8*8), (8*(-8) - 0*0), (0*8 - 8*(-8)) )
n = (-64, -64, 64)

Kita bisa menyederhanakan normal vektor menjadi n = (1, 1, -1) dengan membagi dengan -64.

Persamaan bidang BGD menggunakan titik B(8,0,0) dan normal vektor n=(1,1,-1) adalah:
1(x - 8) + 1(y - 0) - 1(z - 0) = 0
x - 8 + y - z = 0
x + y - z = 8

Sekarang, kita hitung jarak titik E(0,0,8) ke bidang x + y - z - 8 = 0.
Rumus jarak titik (x0, y0, z0) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 adalah:
Jarak = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Jarak = |1(0) + 1(0) - 1(8) - 8| / sqrt(1^2 + 1^2 + (-1)^2)
Jarak = |-8 - 8| / sqrt(1 + 1 + 1)
Jarak = |-16| / sqrt(3)
Jarak = 16 / sqrt(3)
Jarak = (16 * sqrt(3)) / 3 cm.

Alternatif menggunakan geometri:
Perhatikan segitiga BDG. Diagonal bidang BD = BG = DG = 8 * sqrt(2).
Perhatikan segitiga sama sisi BDG dengan sisi 8 * sqrt(2).
Titik E berada pada ketinggian 8 cm dari bidang alas ABCD.
Jarak E ke bidang BGD sama dengan jarak E ke garis potong bidang EFGH dengan bidang BGD. Namun, pendekatan ini lebih rumit.

Pendekatan yang lebih sederhana adalah menyadari bahwa jarak titik E ke bidang BGD adalah sama dengan jarak titik F ke bidang BGD (karena simetri), atau jarak titik H ke bidang BGD. 

Kita bisa menggunakan volume tetrahedron E-BGD. Volume tetrahedron = 1/3 * Luas alas * tinggi. 
Luas alas segitiga BGD (alasnya kubus) = 1/2 * BD * BG * sin(sudut antara BD dan BG).
Atau, luas segitiga BGD = 1/2 * |(BG x BD)| = 1/2 * |(-64, -64, 64)| = 1/2 * sqrt((-64)^2 + (-64)^2 + 64^2) = 1/2 * sqrt(3 * 64^2) = 1/2 * 64 * sqrt(3) = 32 * sqrt(3).

Volume tetrahedron E-BGD juga bisa dihitung dengan alas segitiga EBG dan tinggi AB = 8. Atau alas segitiga EHG dan tinggi AE = 8. Atau alas segitiga EFG dan tinggi EF = 8.

Mari kita gunakan segitiga siku-siku BGE. Luas BGE = 1/2 * BG * GE = 1/2 * 8 * 8 = 32.
Volume E-BGD = 1/3 * Luas BGD * Jarak E ke BGD.

Consider the cube's center. The distance from the center to each face is 4. The distance from the center to a diagonal plane like BGD is related to the orientation. 

The most straightforward method is using the coordinate geometry as shown above.