Sebuah himpunan terdiri atas 10 anggota yang semuanya

36

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu membangun sebuah himpunan 10 anggota bilangan bulat yang memenuhi kriteria yang diberikan: rata-rata, median, modus, dan jangkauan semuanya sama dengan 9.

Mari kita analisis setiap kriteria:

1.  **Jangkauan = 9:** Jangkauan adalah selisih antara nilai terbesar dan terkecil. Jadi, Nilai Terbesar - Nilai Terkecil = 9.
2.  **Modus = 9:** Modus adalah nilai yang paling sering muncul. Agar modus adalah 9, setidaknya ada dua anggota himpunan yang bernilai 9, atau 9 muncul lebih sering daripada bilangan lain.
3.  **Median = 9:** Median adalah nilai tengah dari data yang terurut. Karena ada 10 anggota (genap), median adalah rata-rata dari dua nilai tengah (anggota ke-5 dan ke-6 setelah diurutkan). Agar median = 9, maka (Nilai ke-5 + Nilai ke-6) / 2 = 9, yang berarti Nilai ke-5 + Nilai ke-6 = 18. Kemungkinan yang paling sederhana adalah kedua nilai tengah tersebut adalah 9.
4.  **Rata-rata = 9:** Jumlah seluruh anggota dibagi dengan jumlah anggota (10) adalah 9. Jadi, Jumlah Seluruh Anggota = 9 * 10 = 90.

Sekarang, kita coba konstruksi himpunannya dengan syarat-syarat di atas, sambil memaksimalkan hasil kali bilangan terkecil dan terbesar.

Agar hasil kali bilangan terkecil dan terbesar maksimum, kita perlu membuat bilangan terkecil sekecil mungkin dan bilangan terbesar sebesar mungkin, dengan tetap memenuhi jangkauan 9.

Misalkan bilangan terkecil adalah 'a' dan bilangan terbesar adalah 'b'. Maka, b - a = 9.

Kita perlu 10 bilangan bulat. Agar median dan modus adalah 9, kita bisa tempatkan beberapa angka 9 di tengah.

Mari kita coba susunan:

*   Agar jangkauannya 9 dan kita ingin memaksimalkan perkalian a*b, kita bisa memilih 'a' sekecil mungkin (bilangan bulat bisa negatif, tapi biasanya dalam konteks soal seperti ini merujuk pada bilangan bulat non-negatif atau positif. Jika kita asumsikan bilangan bulat positif, maka kita mulai dari 1). Jika kita mulai dengan 'a' yang kecil, 'b' akan besar.

Namun, ada batasan dari modus dan median. Median 9 berarti nilai tengah adalah 9. Modus 9 berarti 9 sering muncul.

Mari kita coba membangun himpunan yang memenuhi syarat:

Agar modus dan median adalah 9, kita bisa coba:
_ , _ , _ , _ , 9 , 9 , _ , _ , _ , _

Jika jangkauan adalah 9, dan nilai terkecil adalah 'a' serta nilai terbesar adalah 'b', maka b = a + 9.

Kita perlu memastikan rata-rata = 9.

Mari kita pertimbangkan kasus di mana nilai terkecil adalah 1. Maka nilai terbesar adalah 1 + 9 = 10. Himpunannya akan terlihat seperti:
1, _, _, _, 9, 9, _, _, _, 10

Jumlah elemen = 10. Rata-rata = 9. Total jumlah = 90.

Jika kita letakkan 1, 9, 9, 10, kita masih punya 6 elemen lain. Agar median tetap 9, kita perlu setidaknya satu lagi 9 di posisi ke-5 atau ke-6. Mari kita letakkan 4 angka 9 untuk memastikan modus dan median.

Coba susunan:
1, x, y, z, 9, 9, w, u, v, 10

Atau, agar lebih mudah, kita bisa mengisi bagian tengah dengan angka 9 untuk memenuhi modus dan median. Kita punya 10 angka. Jika 5 dan 6 adalah 9, maka median 9.

Misalkan 5 angka pertama adalah sama atau lebih kecil dari 9, dan 5 angka terakhir sama atau lebih besar dari 9.

Kita perlu jangkauan 9. Jadi, jika terkecil = a, terbesar = a+9.

Coba kita atur seperti ini agar memenuhi rata-rata 9:

Misalkan kita punya:
1, 1, 1, 1, 9, 9, 13, 13, 13, 13

Mari kita cek:
*   Jumlah anggota: 10
*   Jangkauan: 13 - 1 = 12 (Ini tidak memenuhi jangkauan = 9)
*   Median: (9+9)/2 = 9 (Memenuhi)
*   Modus: 1 dan 13 (Tidak tunggal, tapi 9 muncul dua kali. Kita perlu modus = 9, jadi 9 harus paling sering muncul).
*   Rata-rata: (4*1 + 2*9 + 4*13) / 10 = (4 + 18 + 52) / 10 = 74 / 10 = 7.4 (Tidak memenuhi)

Kita harus memastikan jangkauan = 9, modus = 9, median = 9, dan rata-rata = 9.

Agar modus = 9, 9 harus muncul paling banyak. Agar median = 9, nilai ke-5 dan ke-6 adalah 9. Agar jangkauan = 9, nilai terbesar - nilai terkecil = 9.

Mari kita coba himpunan:

a, a, a, a, 9, 9, b, b, b, b

Ini akan memberikan median 9. Agar modus 9, kita perlu 9 muncul lebih sering dari a atau b. Atau, kita bisa punya beberapa 9.

Jika jangkauan = 9, maka b - a = 9.

Mari kita coba susunan:

a, a, a, 9, 9, 9, 9, b, b, b

Di sini, modus = 9, median = 9. Jangkauan = b - a = 9.
Jumlah = 3a + 4*9 + 3b = 3a + 36 + 3b.
Rata-rata = (3a + 36 + 3b) / 10 = 9
3a + 36 + 3b = 90
3a + 3b = 54
a + b = 18

Kita punya dua persamaan:
1.  b - a = 9
2.  a + b = 18

Jumlahkan kedua persamaan:
(b - a) + (a + b) = 9 + 18
2b = 27
b = 13.5

Karena b harus bilangan bulat, susunan ini tidak bekerja.

Kita perlu mencoba susunan lain.

Yang penting adalah:
*   Nilai terkecil = a
*   Nilai terbesar = b
*   b - a = 9
*   Rata-rata = 9 (Jumlah = 90)
*   Median = 9 (Nilai ke-5 + Nilai ke-6 = 18)
*   Modus = 9 (9 muncul paling sering)

Untuk memaksimalkan hasil kali a * b, kita perlu membuat 'a' sekecil mungkin dan 'b' sebesar mungkin.

Karena median adalah 9, kita bisa bayangkan angka-angka di bawah 9 dan di atas 9.

Mari kita coba susunan:

a, a, a, a, 9, 9, x, y, z, b

Agar modus 9, kita bisa coba:

a, a, a, 9, 9, 9, 9, 9, b, b

Ini punya modus 9, median 9.
Jangkauan = b - a = 9.
Jumlah = 3a + 5*9 + 2b = 3a + 45 + 2b.
Jumlah = 90.
3a + 45 + 2b = 90
3a + 2b = 45

Kita punya:
1.  b - a = 9  => b = a + 9
2.  3a + 2b = 45

Substitusikan (1) ke (2):
3a + 2(a + 9) = 45
3a + 2a + 18 = 45
5a = 27
a = 5.4

Ini juga bukan bilangan bulat.

Mari kita coba susunan lain yang memenuhi median 9 dan modus 9.

Kita perlu jumlah 90. Jangkauan 9.

Misalkan kita memiliki:

a, x, y, z, 9, 9, p, q, r, b

Jika kita ingin 'a' sekecil mungkin dan 'b' sebesar mungkin, dengan jangkauan 9.

Misalkan nilai terkecil adalah 0 (jika bilangan bulat non-negatif diizinkan). Maka nilai terbesar adalah 9.

Himpunan: 0, _, _, _, 9, 9, _, _, _, 9

Ini akan membuat jangkauan 9, modus 9, median 9. Tapi kita punya 10 anggota.

Mari kita coba:

0, 0, 0, 0, 9, 9, 9, 9, 9, 9

Jumlah = 4*0 + 6*9 = 54. Rata-rata = 5.4 (Tidak 9).

Kita perlu jumlah 90.

Mari kita coba:

a, a, a, a, a, a, a, a, a, b

Ini hanya akan bekerja jika rata-rata, median, modus, jangkauan sama.

Kita perlu menyeimbangkan angka-angka agar rata-ratanya 9.

Mari kita pertimbangkan jangkauan 9. Jika a=1, b=10. Jika a=2, b=11. Jika a=3, b=12. Jika a=4, b=13. Jika a=5, b=14.

Untuk memaksimalkan a*b, kita perlu a dan b saling mendekati 9. Jika a=4.5, b=13.5. Jadi kita perlu a di sekitar 4 atau 5.

Jika a = 4, b = 13. Himpunan: 4, _, _, _, 9, 9, _, _, _, 13.
Jumlah = 4 + x + y + z + 9 + 9 + p + q + r + 13 = 90
4 + x + y + z + 18 + p + q + r + 13 = 90
x + y + z + p + q + r + 35 = 90
x + y + z + p + q + r = 55

Kita perlu 6 angka yang jumlahnya 55. Angka-angka ini harus di antara 4 dan 13, dan harus mendukung median 9 dan modus 9.

Median 9 berarti nilai ke-5 dan ke-6 adalah 9. Jadi, himpunan kita memiliki:

4, _, _, _, 9, 9, _, _, _, 13

Agar modus 9, kita bisa tambahkan 9.

4, _, _, 9, 9, 9, _, _, _, 13

Sekarang kita punya 3 angka yang tersisa. Kita perlu mengisi:

4, x, y, 9, 9, 9, z, w, u, 13

Total jumlah = 90.
4 + x + y + 9 + 9 + 9 + z + w + u + 13 = 90
x + y + z + w + u + 44 = 90
x + y + z + w + u = 46

Kita perlu 5 angka yang jumlahnya 46. Angka-angka ini harus di antara 4 dan 13, dan harus mendukung modus 9. Agar 9 menjadi modus, ia harus muncul lebih sering dari angka lain.

Kita sudah punya tiga 9. Jika kita tambahkan dua 9 lagi:

4, 9, 9, 9, 9, 9, _, _, _, 13

Sekarang kita punya lima 9.

4, 9, 9, 9, 9, 9, z, w, u, 13

Jumlah = 4 + 5*9 + z + w + u + 13 = 90
4 + 45 + z + w + u + 13 = 90
62 + z + w + u = 90
z + w + u = 28

Kita perlu 3 angka (z, w, u) yang jumlahnya 28. Angka-angka ini harus di antara 4 dan 13, dan tidak boleh membuat modus berubah dari 9.

Jika kita pilih z=9, w=9, u=10:

Himpunan: 4, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 13

Mari kita cek:
*   Jumlah anggota: 10
*   Urutan: 4, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 13
*   Rata-rata: (4 + 8*9 + 10 + 13) / 10 = (4 + 72 + 10 + 13) / 10 = 99 / 10 = 9.9 (Tidak 9)

Kita perlu membuat jumlahnya tepat 90.

Mari kita kembali ke persamaan:

Jika nilai terkecil = a, nilai terbesar = a+9.
Jumlah = 90.

Coba kita pilih 'a' dan 'b' yang memaksimalkan a*b.

Kita punya 10 slot. Median 9 (posisi 5 & 6).

Slot: S1, S2, S3, S4, S5, S6, S7, S8, S9, S10
Nilai: a,  ,  ,  , 9,  9,  ,  ,  , b

Jangkauan: b - a = 9.

Coba kita pilih a=5, b=14.
Himpunan: 5, _, _, _, 9, 9, _, _, _, 14.
Jumlah = 5 + S2 + S3 + S4 + 9 + 9 + S7 + S8 + S9 + 14 = 90
5 + S2 + S3 + S4 + 18 + S7 + S8 + S9 + 14 = 90
S2 + S3 + S4 + S7 + S8 + S9 + 37 = 90
S2 + S3 + S4 + S7 + S8 + S9 = 53

Kita punya 6 angka yang jumlahnya 53. Angka-angka ini harus di antara 5 dan 14. Agar modus 9, 9 harus muncul paling sering.

Kita sudah punya dua 9.

Misalkan kita isi dengan angka-angka yang membuat 9 menjadi modus.

5, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 14

Mari kita cek:
*   Jumlah anggota: 10
*   Urutan: 5, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 14
*   Rata-rata: (5 + 8*9 + 14) / 10 = (5 + 72 + 14) / 10 = 91 / 10 = 9.1 (Tidak 9)

Kita perlu jumlahnya tepat 90.

Mari kita coba himpunan di mana nilai terkecil adalah 'a' dan nilai terbesar adalah 'b', dengan b = a + 9.

Kita perlu 10 bilangan bulat. Jumlah total harus 90.

Coba kita lihat kasus umum:
Misalkan kita memiliki 'k' angka yang nilainya 9.
Untuk median 9, kita perlu setidaknya 5 angka <= 9 dan 5 angka >= 9. Dan nilai ke-5 dan ke-6 adalah 9.

Kita perlu memaksimalkan a*b, yang berarti 'a' sekecil mungkin dan 'b' sebesar mungkin, dengan jangkauan 9.

Mari kita coba 'a' = 1. Maka 'b' = 10.

Himpunan: 1, _, _, _, 9, 9, _, _, _, 10.
Jumlah = 90.
1 + S2 + S3 + S4 + 9 + 9 + S7 + S8 + S9 + 10 = 90
S2 + S3 + S4 + S7 + S8 + S9 + 29 = 90
S2 + S3 + S4 + S7 + S8 + S9 = 61

Kita perlu 6 angka yang jumlahnya 61. Angka-angka ini harus di antara 1 dan 10, dan harus mendukung modus 9.

Kita punya dua 9.

Untuk memaksimalkan modus 9, mari kita isi dengan angka 9 sebanyak mungkin.

1, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10

Mari kita cek:
*   Jumlah anggota: 10
*   Urutan: 1, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10
*   Rata-rata: (1 + 8*9 + 10) / 10 = (1 + 72 + 10) / 10 = 83 / 10 = 8.3 (Tidak 9)

Kita perlu jumlahnya tepat 90.

Coba kita cari kombinasi a dan b yang memenuhi.
Misalkan kita memiliki x angka di bawah 9, y angka sama dengan 9, dan z angka di atas 9. x+y+z = 10.

Kita tahu bahwa nilai terkecil adalah a, nilai terbesar adalah b, dan b - a = 9.
Kita juga tahu median 9, yang berarti nilai ke-5 dan ke-6 adalah 9.
Kita tahu modus 9.
Kita tahu rata-rata 9, sehingga jumlah semua angka adalah 90.

Mari kita coba konstruksi himpunan yang paling simetris di sekitar 9 untuk memenuhi rata-rata dan median.

Jika kita punya 4 angka di bawah 9, 4 angka sama dengan 9, dan 2 angka di atas 9:

a, a, a, a, 9, 9, 9, 9, b, b

Jangkauan b - a = 9.
Modus = 9 (jika a dan b tidak muncul 4 kali).
Median = (9+9)/2 = 9.

Jumlah = 4a + 4*9 + 2b = 90
4a + 36 + 2b = 90
4a + 2b = 54
2a + b = 27

Kita punya:
1.  b - a = 9 => b = a + 9
2.  2a + b = 27

Substitusikan (1) ke (2):
2a + (a + 9) = 27
3a + 9 = 27
3a = 18
a = 6

Jika a = 6, maka b = a + 9 = 6 + 9 = 15.

Mari kita cek himpunan:
6, 6, 6, 6, 9, 9, 9, 9, 15, 15

*   Jumlah anggota: 10
*   Urutan: 6, 6, 6, 6, 9, 9, 9, 9, 15, 15
*   Rata-rata: (4*6 + 4*9 + 2*15) / 10 = (24 + 36 + 30) / 10 = 90 / 10 = 9 (Memenuhi)
*   Median: (9+9)/2 = 9 (Memenuhi)
*   Modus: 6 dan 9 dan 15 (Modusnya tidak tunggal, yaitu 6, 9, 15. Tapi soal mensyaratkan modus = 9. Ini berarti 9 harus muncul lebih sering dari yang lain).

Kita perlu 9 muncul lebih sering.

Mari kita coba 3 angka di bawah 9, 5 angka sama dengan 9, dan 2 angka di atas 9.

a, a, a, 9, 9, 9, 9, 9, b, b

Jangkauan b - a = 9.
Modus = 9 (jika a dan b tidak muncul 3 kali).
Median = (9+9)/2 = 9.

Jumlah = 3a + 5*9 + 2b = 90
3a + 45 + 2b = 90
3a + 2b = 45

Kita punya:
1.  b - a = 9 => b = a + 9
2.  3a + 2b = 45

Substitusikan (1) ke (2):
3a + 2(a + 9) = 45
3a + 2a + 18 = 45
5a = 27
a = 5.4 (Bukan bilangan bulat)

Coba kita coba 2 angka di bawah 9, 6 angka sama dengan 9, dan 2 angka di atas 9.

a, a, 9, 9, 9, 9, 9, 9, b, b

Jangkauan b - a = 9.
Modus = 9.
Median = (9+9)/2 = 9.

Jumlah = 2a + 6*9 + 2b = 90
2a + 54 + 2b = 90
2a + 2b = 36
a + b = 18

Kita punya:
1.  b - a = 9
2.  a + b = 18

Jumlahkan:
2b = 27
b = 13.5 (Bukan bilangan bulat)

Coba kita coba 1 angka di bawah 9, 7 angka sama dengan 9, dan 2 angka di atas 9.

a, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, b, b

Jangkauan b - a = 9.
Modus = 9.
Median = (9+9)/2 = 9.

Jumlah = a + 7*9 + 2b = 90
a + 63 + 2b = 90
a + 2b = 27

Kita punya:
1.  b - a = 9 => a = b - 9
2.  a + 2b = 27

Substitusikan (1) ke (2):
(b - 9) + 2b = 27
3b - 9 = 27
3b = 36
b = 12

Jika b = 12, maka a = b - 9 = 12 - 9 = 3.

Himpunan: 3, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 12, 12

Mari kita cek:
*   Jumlah anggota: 10
*   Urutan: 3, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 12, 12
*   Rata-rata: (3 + 7*9 + 2*12) / 10 = (3 + 63 + 24) / 10 = 90 / 10 = 9 (Memenuhi)
*   Median: (9+9)/2 = 9 (Memenuhi)
*   Modus: 9 (Muncul 7 kali, lebih banyak dari 3 (1 kali) dan 12 (2 kali)) (Memenuhi)
*   Jangkauan: 12 - 3 = 9 (Memenuhi)

Himpunan ini memenuhi semua syarat.

Nilai terkecil (a) = 3
Nilai terbesar (b) = 12

Hasil kali maksimum antara bilangan terkecil dan terbesar = a * b = 3 * 12 = 36.

Ada kemungkinan lain untuk mendapatkan hasil kali maksimum. Kita perlu memaksimalkan a*b dengan syarat b-a=9 dan a, b adalah bilangan bulat. Ini terjadi ketika a dan b paling dekat dengan akar kuadrat dari 90/2 = 45, yaitu sekitar 6.7.

Jika kita coba a=6, b=15. Jumlah = 2a+b = 2*6+15 = 12+15 = 27. Ini cocok dengan persamaan 2a+b=27 yang kita dapatkan dari susunan 4a, 4*9, 2b.
Pada susunan tersebut: 6, 6, 6, 6, 9, 9, 9, 9, 15, 15
Jangkauan = 15-6 = 9.
Median = 9.
Rata-rata = 9.
Modus = 6 dan 9 dan 15. Modus tidak tunggal 9.

Kita perlu 9 muncul paling sering.

Himpunan yang kita temukan: 3, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 12, 12.
Nilai terkecil = 3, Nilai terbesar = 12. Hasil kali = 36.

Mari kita coba a=4, b=13.
Persamaan: 3a + 2b = 3*4 + 2*13 = 12 + 26 = 38 (Tidak 45)

Mari kita coba a=5, b=14.
Persamaan: 3a + 2b = 3*5 + 2*14 = 15 + 28 = 43 (Tidak 45)

Mari kita coba a=2, b=11.
Persamaan: 3a + 2b = 3*2 + 2*11 = 6 + 22 = 28 (Tidak 45)

Jadi, himpunan 3, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 12, 12 adalah satu-satunya yang memenuhi semua syarat dan memberikan hasil kali terkecil dan terbesar.

Bilangan terkecil = 3
Bilangan terbesar = 12
Hasil kali = 3 * 12 = 36.