Sebuah industri kecil memproduksi x unit barang. Biaya

Keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp70.000.000,00.

Pembahasan

Untuk mencari keuntungan maksimum, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi biaya dan menyamakannya dengan harga jual per unit, kemudian mencari turunan keduanya untuk memastikan itu adalah nilai maksimum.

Misalkan C(x) adalah biaya produksi x unit barang, dan P(x) adalah pendapatan dari penjualan x unit barang.

Biaya produksi: C(x) = x³ - 72x² - 100x (dalam ribu rupiah)
Harga jual per unit: Rp200.000,00 atau Rp200 (dalam ribu rupiah)

Pendapatan: P(x) = 200x (dalam ribu rupiah)

Keuntungan: K(x) = P(x) - C(x)
K(x) = 200x - (x³ - 72x² - 100x)
K(x) = 200x - x³ + 72x² + 100x
K(x) = -x³ + 72x² + 300x

Untuk mencari keuntungan maksimum, kita turunkan K(x) terhadap x dan samakan dengan 0:
K'(x) = -3x² + 144x + 300

Samakan K'(x) dengan 0:
-3x² + 144x + 300 = 0
Bagi dengan -3:
x² - 48x - 100 = 0

Kita bisa menggunakan rumus kuadratik untuk mencari nilai x:
x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a
x = [48 ± sqrt((-48)² - 4(1)(-100))] / 2(1)
x = [48 ± sqrt(2304 + 400)] / 2
x = [48 ± sqrt(2704)] / 2
x = [48 ± 52] / 2

Ada dua kemungkinan nilai x:
x1 = (48 + 52) / 2 = 100 / 2 = 50
x2 = (48 - 52) / 2 = -4 / 2 = -2

Karena jumlah unit barang tidak mungkin negatif, maka x = 50 unit.

Sekarang kita cari turunan kedua untuk memastikan nilai maksimum:
K''(x) = -6x + 144
K''(50) = -6(50) + 144 = -300 + 144 = -156

Karena K''(50) < 0, maka pada x = 50, keuntungan maksimum tercapai.

Keuntungan maksimum: K(50) = -(50)³ + 72(50)² + 300(50)
K(50) = -125000 + 72(2500) + 15000
K(50) = -125000 + 180000 + 15000
K(50) = 70000

Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp70.000.000,00 (karena biaya dalam ribuan rupiah).