Kelas 12Kelas 11mathKalkulus
Sebuah industri kecil memproduksi x unit barang. Biaya
Pertanyaan
Sebuah industri kecil memproduksi x unit barang. Biaya produksi x unit barang tersebut sebesar (x^3-72x^2-100x) ribu rupiah. Harga jual per unit barang yang dihasilkan adalah Rp200.000,00. Jika semua hasil produksi industri tersebut terjual, hitunglah keuntungan maksimum yang diperoleh!
Solusi
Verified
Keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp70.000.000,00.
Pembahasan
Untuk mencari keuntungan maksimum, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi biaya dan menyamakannya dengan harga jual per unit, kemudian mencari turunan keduanya untuk memastikan itu adalah nilai maksimum. Misalkan C(x) adalah biaya produksi x unit barang, dan P(x) adalah pendapatan dari penjualan x unit barang. Biaya produksi: C(x) = x³ - 72x² - 100x (dalam ribu rupiah) Harga jual per unit: Rp200.000,00 atau Rp200 (dalam ribu rupiah) Pendapatan: P(x) = 200x (dalam ribu rupiah) Keuntungan: K(x) = P(x) - C(x) K(x) = 200x - (x³ - 72x² - 100x) K(x) = 200x - x³ + 72x² + 100x K(x) = -x³ + 72x² + 300x Untuk mencari keuntungan maksimum, kita turunkan K(x) terhadap x dan samakan dengan 0: K'(x) = -3x² + 144x + 300 Samakan K'(x) dengan 0: -3x² + 144x + 300 = 0 Bagi dengan -3: x² - 48x - 100 = 0 Kita bisa menggunakan rumus kuadratik untuk mencari nilai x: x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a x = [48 ± sqrt((-48)² - 4(1)(-100))] / 2(1) x = [48 ± sqrt(2304 + 400)] / 2 x = [48 ± sqrt(2704)] / 2 x = [48 ± 52] / 2 Ada dua kemungkinan nilai x: x1 = (48 + 52) / 2 = 100 / 2 = 50 x2 = (48 - 52) / 2 = -4 / 2 = -2 Karena jumlah unit barang tidak mungkin negatif, maka x = 50 unit. Sekarang kita cari turunan kedua untuk memastikan nilai maksimum: K''(x) = -6x + 144 K''(50) = -6(50) + 144 = -300 + 144 = -156 Karena K''(50) < 0, maka pada x = 50, keuntungan maksimum tercapai. Keuntungan maksimum: K(50) = -(50)³ + 72(50)² + 300(50) K(50) = -125000 + 72(2500) + 15000 K(50) = -125000 + 180000 + 15000 K(50) = 70000 Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp70.000.000,00 (karena biaya dalam ribuan rupiah).
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Turunan
Section: Aplikasi Turunan
Apakah jawaban ini membantu?