Sebuah kerucut dengan tinggi 24 cm mempunyai luas selimut

Volume kerucut tersebut adalah 1232 cm^3.

Pembahasan

Untuk menentukan volume kerucut, kita perlu mengetahui jari-jari alasnya. Luas selimut kerucut dihitung dengan rumus \( L = \pi r s \), di mana L adalah luas selimut, r adalah jari-jari alas, dan s adalah garis pelukis. Kita diberikan luas selimut \( L = 550 \text{ cm}^2 \) dan tinggi \( t = 24 \text{ cm} \). Pertama, kita perlu mencari garis pelukis (s) menggunakan teorema Pythagoras: \( s^2 = r^2 + t^2 \). Namun, kita belum mengetahui r. Kita perlu menggunakan luas selimut untuk mencari r terlebih dahulu.
\( 550 = \pi r s \). Kita juga tahu \( s = \sqrt{r^2 + t^2} = \sqrt{r^2 + 24^2} = \sqrt{r^2 + 576} \).
Jadi, \( 550 = \pi r \sqrt{r^2 + 576} \).
Mari kita gunakan nilai \( \pi \approx \frac{22}{7} \). 
\( 550 = \frac{22}{7} r \sqrt{r^2 + 576} \)
\( \frac{550 \times 7}{22} = r \sqrt{r^2 + 576} \)
\( 25 \times 7 = r \sqrt{r^2 + 576} \)
\( 175 = r \sqrt{r^2 + 576} \)
Kuadratkan kedua sisi:
\( 175^2 = r^2 (r^2 + 576) \)
\( 30625 = r^4 + 576r^2 \)
Misalkan \( x = r^2 \), maka:
\( x^2 + 576x - 30625 = 0 \)
Kita bisa menggunakan rumus kuadrat untuk mencari x: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( x = \frac{-576 \pm \sqrt{576^2 - 4(1)(-30625)}}{2(1)} \)
\( x = \frac{-576 \pm \sqrt{331776 + 122500}}{2} \)
\( x = \frac{-576 \pm \sqrt{454276}}{2} \)
\( x = \frac{-576 \pm 674}{2} \)
Karena \( r^2 \) harus positif, kita ambil nilai positif:
\( x = \frac{-576 + 674}{2} = \frac{98}{2} = 49 \)
Jadi, \( r^2 = 49 \), yang berarti \( r = 7 \text{ cm} \).
Sekarang kita bisa menghitung volume kerucut dengan rumus \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 t \).
\( V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7^2 \times 24 \)
\( V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 49 \times 24 \)
\( V = \frac{1}{3} \times 22 \times 7 \times 24 \)
\( V = 22 \times 7 \times 8 \)
\( V = 154 \times 8 \)
\( V = 1232 \text{ cm}^3 \)