Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathKalkulus

Sebuah kotak tanpa tutup tampak seperti pada gambar

Pertanyaan

Sebuah kotak tanpa tutup memiliki volume 108 cm^3. Tentukan nilai x agar luas permukaan kotak maksimum.

Solusi

Verified

Nilai x adalah 6 cm.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai x agar luas permukaan kotak maksimum, kita perlu menggunakan konsep turunan dalam kalkulus. Pertama, kita definisikan luas permukaan kotak tanpa tutup sebagai fungsi dari x dan y. Luas permukaan (A) terdiri dari alas dan empat sisi tegak: A = (x * y) + 2 * (x * tinggi) + 2 * (y * tinggi). Karena kotak ini memiliki alas dengan dimensi x kali y, dan kita asumsikan tinggi kotak adalah z, maka luas permukaan adalah: A = xy + 2xz + 2yz. Volume kotak diberikan oleh V = x * y * z = 108 cm^3. Dari sini, kita bisa mengekspresikan salah satu variabel (misalnya z) dalam bentuk variabel lain: z = 108 / (xy). Substitusikan z ke dalam persamaan luas permukaan: A = xy + 2x(108/(xy)) + 2y(108/(xy)) A = xy + 216/y + 216/x. Untuk mencari nilai x yang memaksimalkan luas permukaan, kita perlu mencari turunan parsial A terhadap x dan y, lalu menyamakannya dengan nol. ∂A/∂x = y - 216/x^2 = 0 => y = 216/x^2 ∂A/∂y = x - 216/y^2 = 0 => x = 216/y^2 Substitusikan persamaan pertama ke persamaan kedua: x = 216 / (216/x^2)^2 x = 216 / (216^2 / x^4) x = 216 * x^4 / 216^2 x = x^4 / 216 1 = x^3 / 216 x^3 = 216 x = 6. Sekarang substitusikan nilai x kembali ke persamaan y: y = 216 / x^2 = 216 / 6^2 = 216 / 36 = 6. Jadi, agar luas permukaan kotak maksimum, nilai x adalah 6 cm.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Optimasi, Turunan
Section: Aplikasi Turunan

Apakah jawaban ini membantu?