Sebuah pabrik menggunakan bahan A, B, dan C untuk

120 unit barang jenis I dan 120 unit barang jenis II.

Pembahasan

Ini adalah soal program linear yang bertujuan untuk memaksimalkan pendapatan. Kita perlu menentukan jumlah produksi barang jenis I dan barang jenis II.

Definisikan variabel:
- Misalkan x = jumlah barang jenis I
- Misalkan y = jumlah barang jenis II

Fungsi tujuan (pendapatan):
Maksimalkan Z = 40.000x + 60.000y

Kendala:
Bahan A: 1x + 3y <= 480
Bahan B: 3x + 4y <= 720
Bahan C: 2x + 1y <= 360
Non-negatif: x >= 0, y >= 0

Kita perlu mencari titik-titik sudut dari daerah layak yang dibatasi oleh kendala-kendala tersebut dan mengevaluasi fungsi tujuan di setiap titik sudut.

Titik-titik sudut potensial:
1. Titik potong sumbu x (y=0):
   Dari 3x <= 720 -> x <= 240
   Dari 2x <= 360 -> x <= 180
   Titik (180, 0)

2. Titik potong sumbu y (x=0):
   Dari 3y <= 480 -> y <= 160
   Dari 4y <= 720 -> y <= 180
   Titik (0, 160)

3. Titik potong kendala Bahan A dan B:
   x + 3y = 480
   3x + 4y = 720
   Kalikan persamaan pertama dengan 3: 3x + 9y = 1440
   Kurangkan persamaan kedua: (3x + 9y) - (3x + 4y) = 1440 - 720 -> 5y = 720 -> y = 144
   Substitusi y = 144 ke x + 3y = 480 -> x + 3(144) = 480 -> x + 432 = 480 -> x = 48
   Titik (48, 144)

4. Titik potong kendala Bahan A dan C:
   x + 3y = 480
   2x + y = 360
   Kalikan persamaan kedua dengan 3: 6x + 3y = 1080
   Kurangkan persamaan pertama: (6x + 3y) - (x + 3y) = 1080 - 480 -> 5x = 600 -> x = 120
   Substitusi x = 120 ke 2x + y = 360 -> 2(120) + y = 360 -> 240 + y = 360 -> y = 120
   Titik (120, 120)

5. Titik potong kendala Bahan B dan C:
   3x + 4y = 720
   2x + y = 360
   Kalikan persamaan kedua dengan 4: 8x + 4y = 1440
   Kurangkan persamaan pertama: (8x + 4y) - (3x + 4y) = 1440 - 720 -> 5x = 720 -> x = 144
   Substitusi x = 144 ke 2x + y = 360 -> 2(144) + y = 360 -> 288 + y = 360 -> y = 72
   Titik (144, 72)

Sekarang, evaluasi fungsi tujuan Z = 40.000x + 60.000y di titik-titik sudut yang valid (memenuhi semua kendala):
- Titik (180, 0): Z = 40.000(180) + 60.000(0) = 7.200.000
- Titik (0, 160): Z = 40.000(0) + 60.000(160) = 9.600.000
- Titik (48, 144): Z = 40.000(48) + 60.000(144) = 1.920.000 + 8.640.000 = 10.560.000
- Titik (120, 120): Z = 40.000(120) + 60.000(120) = 4.800.000 + 7.200.000 = 12.000.000
- Titik (144, 72): Z = 40.000(144) + 60.000(72) = 5.760.000 + 4.320.000 = 10.080.000

Pendapatan maksimum diperoleh pada titik (120, 120).

Oleh karena itu, agar pabrik memperoleh pendapatan maksimum, barang yang diproduksi adalah 120 unit barang jenis I dan 120 unit barang jenis II.