Diketahui f(x)=a cot x+bx, f'(pi/4)=-3, dan f'(pi/6)=-7.

4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan turunan pertama dari fungsi f(x) = a cot x + bx. Diketahui f'(π/4) = -3 dan f'(π/6) = -7.

Langkah 1: Cari turunan pertama dari f(x).
Turunan dari cot x adalah -csc² x.
Jadi, f'(x) = a(-csc² x) + b
f'(x) = -a csc² x + b

Langkah 2: Gunakan informasi f'(π/4) = -3.
Kita tahu bahwa csc(π/4) = 1/sin(π/4) = 1/(1/√2) = √2.
Maka, csc²(π/4) = (√2)² = 2.
Substitusikan ke dalam f'(x):
f'(π/4) = -a(2) + b = -3
-2a + b = -3  (Persamaan 1)

Langkah 3: Gunakan informasi f'(π/6) = -7.
Kita tahu bahwa csc(π/6) = 1/sin(π/6) = 1/(1/2) = 2.
Maka, csc²(π/6) = 2² = 4.
Substitusikan ke dalam f'(x):
f'(π/6) = -a(4) + b = -7
-4a + b = -7  (Persamaan 2)

Langkah 4: Selesaikan sistem persamaan linear untuk a dan b.
Kita punya dua persamaan:
1) -2a + b = -3
2) -4a + b = -7

Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:
(-4a + b) - (-2a + b) = -7 - (-3)
-4a + b + 2a - b = -7 + 3
-2a = -4
a = 2

Substitusikan nilai a = 2 ke Persamaan 1:
-2(2) + b = -3
-4 + b = -3
b = -3 + 4
b = 1

Langkah 5: Hitung nilai a + 2b.
a + 2b = 2 + 2(1)
a + 2b = 2 + 2
a + 2b = 4