Sebuah populasi terhingga terdiri atas 3,3,5,7,7. a.

Menjelaskan konsep penarikan sampel dengan pemulihan, menghitung sebaran peluang, menggambar histogram, dan membuktikan E(X) = μ.

Pembahasan

Untuk menjawab soal ini, kita perlu memahami konsep dasar statistik tentang penarikan sampel dengan pemulihan. Populasi terhingga yang diberikan adalah {3, 3, 5, 7, 7}.

a. Sebaran penarikan sampel bagi X:
Sampel berukuran 2 dengan pemulihan berarti kita mengambil dua anggota dari populasi, dan setiap anggota yang diambil dikembalikan lagi ke populasi sebelum pengambilan anggota berikutnya. Jumlah total kemungkinan sampel adalah N^n, di mana N adalah ukuran populasi dan n adalah ukuran sampel. Dalam kasus ini, N=5 dan n=2, sehingga total kemungkinan sampel adalah 5^2 = 25.

Kita perlu mendaftar semua kemungkinan pasangan sampel (x1, x2) dan menghitung nilai X (misalnya, rata-rata sampel, jumlah sampel, dll. - perlu diklarifikasi apa yang dimaksud dengan X di sini, kita asumsikan X adalah nilai salah satu anggota yang diambil).
Jika X adalah nilai anggota pertama yang diambil, maka sebaran penarikan sampel untuk X sama dengan distribusi populasi: P(X=3) = 2/5, P(X=5) = 1/5, P(X=7) = 2/5.
Jika X adalah rata-rata sampel, maka kita perlu menghitung rata-rata dari setiap pasangan sampel.

b. Histogram peluang distribusi penarikan sampel:
Jika X adalah nilai anggota pertama, histogram akan memiliki batang pada nilai 3 dengan tinggi 2/5, pada nilai 5 dengan tinggi 1/5, dan pada nilai 7 dengan tinggi 2/5.
Jika X adalah rata-rata sampel, kita perlu menghitung rata-rata untuk semua 25 pasangan sampel dan membuat histogram berdasarkan distribusi rata-rata tersebut.

c. Menunjukkan bahwa E(X) = μ:
μ (mu) adalah rata-rata populasi. μ = (3+3+5+7+7)/5 = 25/5 = 5.
E(X) adalah nilai harapan dari variabel acak X. Jika X adalah nilai anggota pertama yang diambil, maka E(X) = (3 * 2/5) + (5 * 1/5) + (7 * 2/5) = 6/5 + 5/5 + 14/5 = 25/5 = 5. Jadi, E(X) = μ.
Jika X adalah rata-rata sampel, maka E(X̄) = μ, di mana X̄ adalah rata-rata sampel. Ini adalah sifat penting dari penarikan sampel.