Himpunan semua nilai x yang memenuhi (3x-2)/x<=x adalah . .

{x | 0 < x <= 1 atau x >= 2}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan (3x-2)/x <= x, kita perlu membawa semua suku ke satu sisi dan mencari penyebut bersama.

(3x-2)/x - x <= 0

Samakan penyebutnya:
(3x-2)/x - (x*x)/x <= 0
(3x - 2 - x^2)/x <= 0
(-x^2 + 3x - 2)/x <= 0

Kalikan kedua sisi dengan -1 dan balikkan tanda pertidaksamaan:
(x^2 - 3x + 2)/x >= 0

Sekarang, kita faktorkan pembilangnya:
(x-1)(x-2)/x >= 0

Kita perlu mencari nilai-nilai x yang membuat pembilang atau penyebut menjadi nol. Ini adalah titik-titik kritis:
x - 1 = 0  => x = 1
x - 2 = 0  => x = 2
x = 0 (dari penyebut)

Titik-titik kritis ini membagi garis bilangan menjadi empat interval: (-∞, 0), (0, 1], [1, 2], [2, ∞). Perhatikan bahwa x = 0 tidak termasuk dalam solusi karena menyebabkan pembagian dengan nol. x = 1 dan x = 2 termasuk dalam solusi karena pertidaksamaan menggunakan '>='.

Sekarang kita uji tanda di setiap interval:

1. Interval (-∞, 0):
Pilih x = -1
(-1-1)(-1-2)/(-1) = (-2)(-3)/(-1) = 6/(-1) = -6. Hasilnya negatif.

2. Interval (0, 1]:
Pilih x = 0.5
(0.5-1)(0.5-2)/(0.5) = (-0.5)(-1.5)/(0.5) = 0.75 / 0.5 = 1.5. Hasilnya positif.

3. Interval [1, 2]:
Pilih x = 1.5
(1.5-1)(1.5-2)/(1.5) = (0.5)(-0.5)/(1.5) = -0.25 / 1.5 = -1/6. Hasilnya negatif.

4. Interval [2, ∞):
Pilih x = 3
(3-1)(3-2)/(3) = (2)(1)/(3) = 2/3. Hasilnya positif.

Kita mencari interval di mana ekspresi (x-1)(x-2)/x >= 0. Ini adalah interval di mana hasilnya positif atau nol.

Jadi, solusinya adalah (0, 1] U [2, ∞).

Dalam notasi himpunan: {x | 0 < x <= 1 atau x >= 2}