Sebuah toko kain menyediakan dua je- nis kain batik yaitu

12 kain batik halus dan 24 kain batik cap.

Pembahasan

Misalkan jumlah kain batik halus adalah $x$ dan jumlah kain batik cap adalah $y$.
Dari soal, kita dapat membuat model matematika sebagai berikut:

1.  Kapasitas etalase:
    $x + y \le 36$

2.  Modal yang disediakan:
    $800.000x + 600.000y \le 24.000.000$
    Disederhanakan menjadi:
    $8x + 6y \le 240$
    Atau:
    $4x + 3y \le 120$

3.  Fungsi tujuan (keuntungan):
    $f(x, y) = 120.000x + 100.000y$
    Disederhanakan menjadi:
    $f(x, y) = 12x + 10y$

Kita juga memiliki syarat non-negatif:
$x \ge 0$
$y \ge 0$

Sekarang kita cari titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi pertidaksamaan tersebut:

a. Titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari $x + y = 36$:
   Jika $x=0$, $y=36$. Titik: (0, 36)
   Jika $y=0$, $x=36$. Titik: (36, 0)

b. Titik potong sumbu-x dan sumbu-y dari $4x + 3y = 120$:
   Jika $x=0$, $3y=120 \implies y=40$. Titik: (0, 40)
   Jika $y=0$, $4x=120 \implies x=30$. Titik: (30, 0)

c. Titik potong antara $x + y = 36$ dan $4x + 3y = 120$:
   Dari $x + y = 36$, kita dapatkan $y = 36 - x$.
   Substitusikan ke persamaan kedua:
   $4x + 3(36 - x) = 120$
   $4x + 108 - 3x = 120$
   $x = 120 - 108$
   $x = 12$
   Jika $x = 12$, maka $y = 36 - 12 = 24$.
   Titik potong: (12, 24)

Titik-titik pojok yang relevan adalah (0, 0), (30, 0), (12, 24), dan (0, 36).

Sekarang kita evaluasi fungsi keuntungan $f(x, y) = 12x + 10y$ pada setiap titik pojok:

*   $f(0, 0) = 12(0) + 10(0) = 0$
*   $f(30, 0) = 12(30) + 10(0) = 360$
*   $f(12, 24) = 12(12) + 10(24) = 144 + 240 = 384$
*   $f(0, 36) = 12(0) + 10(36) = 360$

Nilai keuntungan maksimal adalah 384, yang dicapai ketika $x = 12$ (kain batik halus) dan $y = 24$ (kain batik cap).

Jadi, banyak kain batik yang harus disediakan agar diperoleh keuntungan maksimal dari penjualan semua kain adalah 12 kain batik halus dan 24 kain batik cap.