Sederhanakan operasi perkalian di bawah ini! (8 (3a)^(1/2)

120a + 8√{6a} + 15√{2a} + 2√3

Pembahasan

Untuk menyederhanakan operasi perkalian (8(3a)^(1/2) + 6^(1/2))(5(3a)^(1/2) + 2^(1/2)), kita akan menggunakan sifat distributif (seperti mengalikan dua binomial).

Misalkan x = (3a)^(1/2) dan y = 6^(1/2) dan z = 2^(1/2).
Ekspresi menjadi: (8x + y)(5x + z)

Menggunakan metode FOIL (First, Outer, Inner, Last):

1.  **First (Pertama):** (8x) * (5x) = 40x^2
2.  **Outer (Luar):** (8x) * (z) = 8xz
3.  **Inner (Dalam):** (y) * (5x) = 5xy
4.  **Last (Terakhir):** (y) * (z) = yz

Jumlahkan semua hasil:
40x^2 + 8xz + 5xy + yz

Sekarang, substitusikan kembali nilai x, y, dan z:
x = (3a)^(1/2) => x^2 = 3a
y = 6^(1/2)
z = 2^(1/2)

40(3a) + 8(3a)^(1/2)(2)^(1/2) + 5(6)^(1/2)(3a)^(1/2) + (6)^(1/2)(2)^(1/2)

Sederhanakan lebih lanjut:
120a + 8(6a)^(1/2) + 5(18a)^(1/2) + (12)^(1/2)

Perhatikan bahwa (18a)^(1/2) = (9 * 2a)^(1/2) = 3(2a)^(1/2).
Perhatikan juga bahwa (12)^(1/2) = (4 * 3)^(1/2) = 2(3)^(1/2).

Mari kita kembali ke langkah awal dan kelompokkan suku-suku yang serupa:
(8(3a)^(1/2) + 6^(1/2) )(5(3a)^(1/2) + 2^(1/2) )

= 8(3a)^(1/2) * 5(3a)^(1/2) + 8(3a)^(1/2) * 2^(1/2) + 6^(1/2) * 5(3a)^(1/2) + 6^(1/2) * 2^(1/2)

= 40 * (3a) + 8 * (6a)^(1/2) + 5 * (18a)^(1/2) + (12)^(1/2)

= 120a + 8 * (6a)^(1/2) + 5 * (9 * 2a)^(1/2) + (4 * 3)^(1/2)

= 120a + 8 * (6a)^(1/2) + 5 * 3 * (2a)^(1/2) + 2 * (3)^(1/2)

= 120a + 8 * (6a)^(1/2) + 15 * (2a)^(1/2) + 2 * (3)^(1/2)

Jika kita perhatikan lagi bentuk soalnya, mungkin ada penyederhanaan yang lebih mudah jika kita menganggap `(3a)^(1/2)` sebagai variabel yang sama:

Misalkan X = (3a)^(1/2).
Ekspresi menjadi: (8X + 6^(1/2))(5X + 2^(1/2))

= (8X)(5X) + (8X)(2^(1/2)) + (6^(1/2))(5X) + (6^(1/2))(2^(1/2))

= 40X^2 + 8(2)^(1/2)X + 40(3)^(1/2)X + (12)^(1/2)

Substitusikan kembali X = (3a)^(1/2) dan sederhanakan akar:

= 40(3a) + 8(2)^(1/2)(3a)^(1/2) + 40(3)^(1/2)(3a)^(1/2) + (4 * 3)^(1/2)

= 120a + 8(6a)^(1/2) + 40(9a^2)^(1/2) + 2(3)^(1/2)

= 120a + 8(6a)^(1/2) + 40 * 3 * a^(1/2) + 2(3)^(1/2)

Mari kita kembali ke ekspresi asli dan kelompokkan suku yang serupa:
(8(3a)^(1/2) + √6 )(5(3a)^(1/2) + √2 )

= (8√{3a} + √6)(5√{3a} + √2)

= (8√{3a})(5√{3a}) + (8√{3a})(√2) + (√6)(5√{3a}) + (√6)(√2)

= 40 * (3a) + 8√{6a} + 5√{18a} + √12

= 120a + 8√{6a} + 5√(9*2a) + √(4*3)

= 120a + 8√{6a} + 5 * 3√{2a} + 2√3

= 120a + 8√{6a} + 15√{2a} + 2√3

Tidak ada suku yang sejenis untuk dijumlahkan lebih lanjut, kecuali jika ada informasi tambahan tentang nilai 'a'. Namun, bentuk ini adalah bentuk yang paling sederhana.