Selesaikan dan tulislah HP dari PtRLK berikut.

HP: $(-\infty, 3) \cup (\frac{17}{4}, 5)$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan rasional $\frac{3}{x-5} + \frac{5}{x-3} < 0$, kita perlu menggabungkan kedua pecahan terlebih dahulu:

$\,\frac{3(x-3) + 5(x-5)}{(x-5)(x-3)} < 0$

$\,\frac{3x - 9 + 5x - 25}{(x-5)(x-3)} < 0$

$\,\frac{8x - 34}{(x-5)(x-3)} < 0$

Selanjutnya, kita tentukan pembuat nol untuk pembilang dan penyebut:
Pembilang: $8x - 34 = 0 \implies 8x = 34 \implies x = \frac{34}{8} = \frac{17}{4}$
Penyebut: $(x-5)(x-3) = 0 \implies x = 5$ atau $x = 3$

Kita uji interval yang dibentuk oleh titik-titik kritis ini: $3, \frac{17}{4}, 5$. Titik kritisnya adalah 3, 4.25, dan 5.

- Interval $x < 3$: Ambil $x=0$, $\frac{8(0)-34}{(0-5)(0-3)} = \frac{-34}{15} < 0$. (Memenuhi)
- Interval $3 < x < \frac{17}{4}$: Ambil $x=4$, $\frac{8(4)-34}{(4-5)(4-3)} = \frac{32-34}{(-1)(1)} = \frac{-2}{-1} = 2 > 0$. (Tidak memenuhi)
- Interval $\frac{17}{4} < x < 5$: Ambil $x=4.5$, $\frac{8(4.5)-34}{(4.5-5)(4.5-3)} = \frac{36-34}{(-0.5)(1.5)} = \frac{2}{-0.75} < 0$. (Memenuhi)
- Interval $x > 5$: Ambil $x=6$, $\frac{8(6)-34}{(6-5)(6-3)} = \frac{48-34}{(1)(3)} = \frac{14}{3} > 0$. (Tidak memenuhi)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $x < 3$ atau $\frac{17}{4} < x < 5$.
Himpunan Penyelesaian (HP): $(-\infty, 3) \cup (\frac{17}{4}, 5)$.