Selesaikan pertidaksamaan berikut.(x^2-9)/(x^2-5x+6)>=0

x \le -3 atau x > 3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan \frac{x^2-9}{x^2-5x+6} \ge 0, kita perlu mencari akar-akar dari pembilang dan penyebut, lalu membuat garis bilangan.

Pembilang: x^2 - 9 = 0 \implies (x-3)(x+3) = 0 \implies x = 3 \text{ atau } x = -3

Penyebut: x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x-2)(x-3) = 0 \implies x = 2 \text{ atau } x = 3

Nilai-nilai kritisnya adalah -3, 2, dan 3. Kita perlu memperhatikan bahwa x tidak boleh sama dengan 2 atau 3 karena membuat penyebut menjadi nol.

Garis bilangan:
Kita uji interval:
1. x < -3 (misal x = -4): \frac{(-4)^2-9}{(-4)^2-5(-4)+6} = \frac{16-9}{16+20+6} = \frac{7}{42} > 0 (Positif)
2. -3 < x < 2 (misal x = 0): \frac{0^2-9}{0^2-5(0)+6} = \frac{-9}{6} < 0 (Negatif)
3. 2 < x < 3 (misal x = 2.5): \frac{(2.5)^2-9}{(2.5)^2-5(2.5)+6} = \frac{6.25-9}{6.25-12.5+6} = \frac{-2.75}{-0.25} > 0 (Positif)
4. x > 3 (misal x = 4): \frac{4^2-9}{4^2-5(4)+6} = \frac{16-9}{16-20+6} = \frac{7}{2} > 0 (Positif)

Pertidaksamaan adalah \ge 0, jadi kita mencari interval yang positif atau nol. Nilai x = -3 memenuhi (karena pembilang menjadi nol). Nilai x = 3 membuat pembilang dan penyebut nol, sehingga tidak terdefinisi. Nilai x = 2 membuat penyebut nol, sehingga tidak terdefinisi.

Jadi, solusi yang memenuhi adalah x \le -3 atau 2 < x < 3 atau x > 3.
Namun, karena x=3 membuat penyebut nol, maka interval x > 3 adalah benar.
Karena x=3 juga membuat pembilang nol, dan kita mencari \ge 0, maka x=-3 adalah solusi.
Nilai x=3 tidak termasuk karena penyebutnya nol.

Solusinya adalah: x \le -3 atau x > 3.
Mari kita cek kembali interval 2 < x < 3. Pada interval ini hasilnya positif, namun x=3 tidak termasuk.