Selesaikan program linear berikut ini. Maksimum dari

Nilai maksimum $z = \frac{46}{3}$ pada $x=\frac{2}{3}, y=\frac{8}{3}$.

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan program linear berikut:
Maksimumkan $z = 3x + 5y$ dengan kendala:
1. $x + 2y \le 6$
2. $y \ge 0$
3. $y + 2x \le 4$
4. $x \ge 0$

Langkah pertama adalah menggambar daerah yang memenuhi semua kendala. Kendala $x \ge 0$ dan $y \ge 0$ membatasi kita pada kuadran pertama.

Untuk kendala 1: $x + 2y = 6$. Titik potong sumbu-x (y=0) adalah $x=6$. Titik potong sumbu-y (x=0) adalah $2y=6 	Rightarrow y=3$. Jadi, garis melewati $(6,0)$ dan $(0,3)$.

Untuk kendala 3: $y + 2x = 4$. Titik potong sumbu-x (y=0) adalah $2x=4 	Rightarrow x=2$. Titik potong sumbu-y (x=0) adalah $y=4$. Jadi, garis melewati $(2,0)$ dan $(0,4)$.

Sekarang kita cari titik potong antara kedua garis kendala:
$x + 2y = 6 	(1)$
$2x + y = 4 	(3)$ (Menulis ulang kendala 3)

Dari (1), $x = 6 - 2y$. Substitusikan ke (3):
$2(6 - 2y) + y = 4$
$12 - 4y + y = 4$
$12 - 3y = 4$
$-3y = 4 - 12$
$-3y = -8$
$y = \frac{8}{3}$

Sekarang cari $x$: $x = 6 - 2y = 6 - 2(\frac{8}{3}) = 6 - \frac{16}{3} = \frac{18-16}{3} = \frac{2}{3}$.

Jadi, titik potongnya adalah $(\frac{2}{3}, \frac{8}{3})$.

Titik-titik sudut daerah layak adalah:
- Titik potong sumbu-x dari $x+2y=6$ dan $x \ge 0$: $(6,0)$. Namun, kita perlu memeriksa apakah ini memenuhi kendala lain. $y=0$, $y+2x=0+2(6)=12$, $12 
ot


- Titik potong sumbu-x dari $2x+y=4$ dan $x \ge 0$: $(2,0)$. Periksa kendala lain: $x+2y = 2+2(0)=2 \le 6$. Ini memenuhi.
- Titik potong sumbu-y dari $x+2y=6$ dan $y \ge 0$: $(0,3)$. Periksa kendala lain: $y+2x=3+2(0)=3 \le 4$. Ini memenuhi.
- Titik potong sumbu-y dari $2x+y=4$ dan $y \ge 0$: $(0,4)$. Periksa kendala lain: $x+2y=0+2(4)=8$, $8 
ot


- Titik potong kedua garis: $(\frac{2}{3}, \frac{8}{3})$. Periksa kendala lain: $x \ge 0, y \ge 0$. Ini memenuhi.

Titik-titik sudut daerah layak adalah $(0,0)$, $(2,0)$, $(0,3)$, dan $(\frac{2}{3}, \frac{8}{3})$.

Sekarang kita evaluasi fungsi tujuan $z = 3x + 5y$ di setiap titik sudut:
- Di $(0,0)$: $z = 3(0) + 5(0) = 0$
- Di $(2,0)$: $z = 3(2) + 5(0) = 6$
- Di $(0,3)$: $z = 3(0) + 5(3) = 15$
- Di $(\frac{2}{3}, \frac{8}{3})$: $z = 3(\frac{2}{3}) + 5(\frac{8}{3}) = 2 + \frac{40}{3} = \frac{6+40}{3} = \frac{46}{3} \approx 15.33$

Nilai maksimum dari $z$ adalah $\frac{46}{3}$ yang dicapai pada titik $(\frac{2}{3}, \frac{8}{3})$.