Selesaikan setiap pertidaksamaan berikut.

Penyelesaian pertidaksamaan akar((2x-2)/(x-3))<2 adalah x ≤ 1 atau x > 5.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan akar((2x-2)/(x-3))<2, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Kuadratkan kedua sisi pertidaksamaan:
(2x-2)/(x-3) < 4

2. Pindahkan semua suku ke satu sisi:
(2x-2)/(x-3) - 4 < 0

3. Samakan penyebutnya:
(2x-2 - 4(x-3))/(x-3) < 0
(2x-2 - 4x+12)/(x-3) < 0
(-2x+10)/(x-3) < 0

4. Tentukan pembuat nol untuk pembilang dan penyebut:
Pembilang: -2x + 10 = 0 => x = 5
Penyebut: x - 3 = 0 => x = 3

5. Uji interval:
Kita perlu menguji nilai x pada interval (-∞, 3), (3, 5), dan (5, ∞).

   - Untuk x < 3 (misal x = 0): (-2(0)+10)/(0-3) = 10/-3 < 0. (Memenuhi)
   - Untuk 3 < x < 5 (misal x = 4): (-2(4)+10)/(4-3) = (-8+10)/1 = 2 > 0. (Tidak memenuhi)
   - Untuk x > 5 (misal x = 6): (-2(6)+10)/(6-3) = (-12+10)/3 = -2/3 < 0. (Memenuhi)

6. Pertimbangkan syarat akar:
Syarat agar akar terdefinisi adalah ekspresi di dalam akar harus non-negatif, yaitu (2x-2)/(x-3) ≥ 0.
   - Pembuat nol: 2x-2=0 => x=1 dan x-3=0 => x=3.
   - Uji interval untuk syarat akar:
     - x < 1 (misal x = 0): (2(0)-2)/(0-3) = -2/-3 = 2/3 ≥ 0. (Memenuhi)
     - 1 ≤ x < 3 (misal x = 2): (2(2)-2)/(2-3) = (4-2)/-1 = 2/-1 = -2 < 0. (Tidak memenuhi)
     - x > 3 (misal x = 4): (2(4)-2)/(4-3) = (8-2)/1 = 6 ≥ 0. (Memenuhi)
   - Jadi, syarat akar adalah x ≤ 1 atau x > 3.

7. Gabungkan hasil pertidaksamaan dan syarat akar:
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan awal adalah x < 3 atau x > 5.
Himpunan penyelesaian syarat akar adalah x ≤ 1 atau x > 3.

Irisan dari kedua himpunan penyelesaian tersebut adalah:
(x < 3 atau x > 5) ∩ (x ≤ 1 atau x > 3) = x ≤ 1 atau x > 5.

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan akar((2x-2)/(x-3))<2 adalah x ≤ 1 atau x > 5.