Selesaikanlah. limit theta -> 0 (1 - cos theta . cos (2

Nilai limitnya adalah 5/2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta \cos (2 \theta)}{\theta^2}$, kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hôpital jika diperlukan.

Mari kita substitusi $\theta = 0$ terlebih dahulu:
$1 - \cos(0) \cos(0) = 1 - (1)(1) = 1 - 1 = 0$
$\theta^2 = 0^2 = 0$
Karena kita mendapatkan bentuk $\frac{0}{0}$, kita bisa menggunakan aturan L'Hôpital.

Aturan L'Hôpital menyatakan bahwa jika $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$, maka $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, asalkan limit di sisi kanan ada.

Misalkan $f(\theta) = 1 - \cos \theta \cos (2 \theta)$ dan $g(\theta) = \theta^2$.

Turunan dari $g(\theta)$ terhadap $\theta$ adalah $g'(\theta) = 2\theta$.

Untuk mencari turunan dari $f(\theta)$, kita gunakan aturan perkalian dan aturan rantai:
$f'(\theta) = \frac{d}{d\theta}(1) - \frac{d}{d\theta}(\cos \theta \cos (2 \theta))$
$f'(\theta) = 0 - [(\frac{d}{d\theta}(\cos \theta)) \cos (2 \theta) + \cos \theta (\frac{d}{d\theta}(\cos (2 \theta)))]$
$f'(\theta) = - [(-\sin \theta) \cos (2 \theta) + \cos \theta (-\sin (2 \theta) \cdot 2)]$
$f'(\theta) = - [-\sin \theta \cos (2 \theta) - 2 \cos \theta \sin (2 \theta)]$
$f'(\theta) = \sin \theta \cos (2 \theta) + 2 \cos \theta \sin (2 \theta)$

Sekarang kita terapkan aturan L'Hôpital:
$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta \cos (2 \theta) + 2 \cos \theta \sin (2 \theta)}{2\theta}$

Jika kita substitusi $\theta = 0$ lagi:
$\sin(0)\cos(0) + 2\cos(0)\sin(0) = (0)(1) + 2(1)(0) = 0$
$2\theta = 2(0) = 0$

Kita masih mendapatkan bentuk $\frac{0}{0}$, jadi kita terapkan aturan L'Hôpital lagi.

Turunan dari pembilang: $\frac{d}{d\theta}(\sin \theta \cos (2 \theta) + 2 \cos \theta \sin (2 \theta))$
Turunan dari $\sin \theta \cos (2 \theta)$:
$(\cos \theta) \cos (2 \theta) + \sin \theta (-\sin (2 \theta) \cdot 2) = \cos \theta \cos (2 \theta) - 2 \sin \theta \sin (2 \theta)$

Turunan dari $2 \cos \theta \sin (2 \theta)$:
$2 [(-\sin \theta) \sin (2 \theta) + \cos \theta (\cos (2 \theta) 
cdot 2)] = -2 \sin \theta \sin (2 \theta) + 4 \cos \theta \cos (2 \theta)$

Jadi, turunan pembilang adalah:
$(\cos \theta \cos (2 \theta) - 2 \sin \theta \sin (2 \theta)) + (-2 \sin \theta \sin (2 \theta) + 4 \cos \theta \cos (2 \theta))$
$= 5 \cos \theta \cos (2 \theta) - 4 \sin \theta \sin (2 \theta)$

Turunan dari penyebut $2\theta$ adalah $2$.

Sekarang kita terapkan aturan L'Hôpital untuk kedua kalinya:
$\lim_{\theta \to 0} \frac{5 \cos \theta \cos (2 \theta) - 4 \sin \theta \sin (2 \theta)}{2}$

Substitusi $\theta = 0$:
$\frac{5 \cos(0) \cos(0) - 4 \sin(0) \sin(0)}{2}$
$= \frac{5(1)(1) - 4(0)(0)}{2}$
$= \frac{5 - 0}{2}$
$= \frac{5}{2}$

Alternatif menggunakan identitas:
Kita tahu bahwa $1 - \cos A = 2 \sin^2(A/2)$.
Juga, $\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$, sehingga $1 + \cos(2\theta) = 2\cos^2\theta$.

Untuk pembilang: $1 - \cos \theta \cos (2 \theta)$.
Gunakan $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta$ atau $\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$.

Cara yang lebih mudah mungkin adalah menggunakan ekspansi deret Taylor untuk $\cos x$ di sekitar 0, yaitu $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2!}$.
$\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$
$\cos (2 \theta) \approx 1 - \frac{(2\theta)^2}{2} = 1 - \frac{4\theta^2}{2} = 1 - 2\theta^2$

Jadi, pembilang menjadi:
$1 - (1 - \frac{\theta^2}{2})(1 - 2\theta^2)$
$= 1 - (1 - 2\theta^2 - \frac{\theta^2}{2} + \theta^2 \cdot 2\theta^2)$
$= 1 - (1 - \frac{5\theta^2}{2} + 2\theta^4)$
$= 1 - 1 + \frac{5\theta^2}{2} - 2\theta^4$
$= \frac{5\theta^2}{2} - 2\theta^4$

Sekarang limitnya menjadi:
$\lim_{\theta \to 0} \frac{\frac{5\theta^2}{2} - 2\theta^4}{\theta^2}$
$= \lim_{\theta \to 0} (\frac{5\theta^2}{2\theta^2} - \frac{2\theta^4}{\theta^2})$
$= \lim_{\theta \to 0} (\frac{5}{2} - 2\theta^2)$
$= \frac{5}{2} - 2(0)^2$
$= \frac{5}{2}$

Kedua metode memberikan hasil yang sama.