Tentukan jumlah kebalikan akar-akar persamaan

$\\frac{3}{4}$

Pembahasan

Diberikan persamaan polinomial derajat tiga: $x^3 - 2x^2 - 3x + 4 = 0$.
Misalkan akar-akar persamaan ini adalah $\\alpha$, $\\beta$, dan $\\gamma$.

Menurut Teorema Vieta untuk persamaan kubik $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$, berlaku:
Jumlah akar-akar: $\\alpha + \\beta + \\gamma = -\\frac{b}{a}$
Jumlah hasil kali akar-akar berpasangan: $\\alpha\\beta + \\alpha\\gamma + \\beta\\gamma = \\frac{c}{a}$
Hasil kali akar-akar: $\\alpha\\beta\\gamma = -\\frac{d}{a}$

Dalam persamaan $x^3 - 2x^2 - 3x + 4 = 0$, kita memiliki:
$a = 1$
$b = -2$
$c = -3$
$d = 4$

Jumlah akar-akar:
$\\alpha + \\beta + \\gamma = -\\frac{(-2)}{1} = 2$

Jumlah hasil kali akar-akar berpasangan:
$\\alpha\\beta + \\alpha\\gamma + \\beta\\gamma = \\frac{(-3)}{1} = -3$

Jumlah kebalikan akar-akar adalah $\\frac{1}{\\alpha} + \\frac{1}{\\beta} + \\frac{1}{\\gamma}$.
Untuk menjumlahkan pecahan ini, kita samakan penyebutnya:
\\frac{1}{\\alpha} + \\frac{1}{\\beta} + \\frac{1}{\\gamma} = \\frac{\\beta\\gamma}{\\alpha\\beta\\gamma} + \\frac{\\alpha\\gamma}{\\alpha\\beta\\gamma} + \\frac{\\alpha\\beta}{\\alpha\\beta\\gamma}
\\frac{1}{\\alpha} + \\frac{1}{\\beta} + \\frac{1}{\\gamma} = \\frac{\\alpha\\beta + \\alpha\\gamma + \\beta\\gamma}{\\alpha\\beta\\gamma}

Sekarang kita substitusikan nilai yang kita dapatkan dari Teorema Vieta:
Jumlah kebalikan akar-akar = $\\frac{-3}{-4/1} = \\frac{-3}{-4} = \\frac{3}{4}$

Jadi, jumlah kebalikan akar-akar persamaan $x^3 - 2x^2 - 3x + 4 = 0$ adalah $\\frac{3}{4}$.