Selesaikanlah sistem persamaan linear berikut. 6x-5y-2z=2

Solusi sistem persamaan linear adalah x=3, y=4, z=-2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut:
1) $6x - 5y - 2z = 2$
2) $4x + y + 3z = 10$
3) $5x + 3y + 7z = 13$

Kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi. Mari kita gunakan metode eliminasi.

Langkah 1: Eliminasi salah satu variabel (misalnya y) dari dua pasang persamaan.

Dari persamaan (2), kita bisa mendapatkan $y = 10 - 4x - 3z$. Substitusikan ini ke persamaan (1) dan (3).

Substitusi ke persamaan (1):
$6x - 5(10 - 4x - 3z) - 2z = 2$
$6x - 50 + 20x + 15z - 2z = 2$
$26x + 13z = 52$
Bagi dengan 13:
4) $2x + z = 4$

Substitusi ke persamaan (3):
$5x + 3(10 - 4x - 3z) + 7z = 13$
$5x + 30 - 12x - 9z + 7z = 13$
$-7x - 2z = 13 - 30$
$-7x - 2z = -17$
Bagi dengan -1:
5) $7x + 2z = 17$

Langkah 2: Selesaikan sistem persamaan dua variabel (persamaan 4 dan 5).
Kita punya:
4) $2x + z = 4$
5) $7x + 2z = 17$

Dari persamaan (4), kita dapatkan $z = 4 - 2x$. Substitusikan ke persamaan (5):
$7x + 2(4 - 2x) = 17$
$7x + 8 - 4x = 17$
$3x = 17 - 8$
$3x = 9$
$x = 3$

Langkah 3: Cari nilai y dan z.
Substitusikan $x = 3$ ke persamaan $z = 4 - 2x$:
$z = 4 - 2(3)$
$z = 4 - 6$
$z = -2$

Substitusikan $x = 3$ dan $z = -2$ ke salah satu persamaan awal (misalnya persamaan 2):
$4x + y + 3z = 10$
$4(3) + y + 3(-2) = 10$
$12 + y - 6 = 10$
$y + 6 = 10$
$y = 10 - 6$
$y = 4$

Jadi, solusi dari sistem persamaan linear tersebut adalah $x = 3$, $y = 4$, dan $z = -2$.

Verifikasi dengan memasukkan nilai-nilai ini ke ketiga persamaan awal:
1) $6(3) - 5(4) - 2(-2) = 18 - 20 + 4 = 2$ (Benar)
2) $4(3) + 4 + 3(-2) = 12 + 4 - 6 = 10$ (Benar)
3) $5(3) + 3(4) + 7(-2) = 15 + 12 - 14 = 13$ (Benar)

Jawaban Ringkas:
Solusi sistem persamaan linear adalah $x=3$, $y=4$, $z=-2$.