Selesaikanlah tiap persamaan berikut untuk 0<x<360.

Solusi untuk sin(x+120)-sin(x-60)=0 adalah x=60° dan x=240°. Solusi untuk cos 3x+cos(x+60)=0 adalah x=30°, 120°, 210°, 300°.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri tersebut:

a. sin(x+120°) - sin(x-60°) = 0
Menggunakan rumus selisih sinus: sin A - sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2)
Dalam kasus ini, A = x+120° dan B = x-60°.
(A+B)/2 = (x+120° + x-60°)/2 = (2x+60°)/2 = x+30°
(A-B)/2 = (x+120° - (x-60°))/2 = (x+120° - x+60°)/2 = 180°/2 = 90°
Maka, persamaan menjadi: 2 cos(x+30°) sin(90°) = 0
Karena sin(90°) = 1, maka 2 cos(x+30°) * 1 = 0
cos(x+30°) = 0
Nilai cosinus bernilai 0 pada 90° dan 270°.
Maka, x+30° = 90° atau x+30° = 270°.
Jika x+30° = 90°, maka x = 90° - 30° = 60°.
Jika x+30° = 270°, maka x = 270° - 30° = 240°.
Jadi, solusi untuk 0 < x < 360 adalah x = 60° dan x = 240°.

b. cos 3x + cos(x+60°) = 0
Menggunakan rumus jumlah kosinus: cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2)
Dalam kasus ini, A = 3x dan B = x+60°.
(A+B)/2 = (3x + x+60°)/2 = (4x+60°)/2 = 2x+30°
(A-B)/2 = (3x - (x+60°))/2 = (3x - x - 60°)/2 = (2x-60°)/2 = x-30°
Maka, persamaan menjadi: 2 cos(2x+30°) cos(x-30°) = 0
Ini berarti cos(2x+30°) = 0 atau cos(x-30°) = 0.

Kasus 1: cos(2x+30°) = 0
2x+30° = 90° + 180°n (di mana n adalah bilangan bulat)
2x = 60° + 180°n
x = 30° + 90°n
Untuk n=0, x=30°
Untuk n=1, x=120°
Untuk n=2, x=210°
Untuk n=3, x=300°

Kasus 2: cos(x-30°) = 0
x-30° = 90° + 180°n
x = 120° + 180°n
Untuk n=0, x=120°
Untuk n=1, x=300°

Menggabungkan solusi dari kedua kasus dan memastikan berada dalam rentang 0 < x < 360:
x = 30°, 120°, 210°, 300°.