Tentukan penyelesaian dari SPL tiga variabel berikut dengan

Penyelesaian SPL menggunakan cara Cramer adalah x=0, y=2, dan z=-5.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL) tiga variabel berikut menggunakan metode Cramer:

x + y - z = 7
2x - 3y - 2z = 4
x - y - 5z = 23

Metode Cramer menggunakan determinan untuk menyelesaikan SPL. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1.  **Tuliskan koefisien dan konstanta dalam bentuk matriks:**
    Koefisien x, y, z dari persamaan pertama: [1, 1, -1]
    Koefisien x, y, z dari persamaan kedua: [2, -3, -2]
    Koefisien x, y, z dari persamaan ketiga: [1, -1, -5]
    Konstanta di sisi kanan persamaan: [7, 4, 23]

2.  **Hitung Determinan Utama (D):**
    Determinan D dibentuk dari koefisien x, y, z.
    D = |
      1   1  -1 |
      | 2  -3  -2 |
      | 1  -1  -5 |
    
    Menggunakan metode Sarrus atau ekspansi kofaktor:
    D = 1((-3)(-5) - (-2)(-1)) - 1(2(-5) - (-2)(1)) + (-1)(2(-1) - (-3)(1))
    D = 1(15 - 2) - 1(-10 + 2) - 1(-2 + 3)
    D = 1(13) - 1(-8) - 1(1)
    D = 13 + 8 - 1
    D = 20

3.  **Hitung Determinan untuk x (Dx):**
    Ganti kolom koefisien x dengan kolom konstanta.
    Dx = |
      7   1  -1 |
      | 4  -3  -2 |
      | 23 -1  -5 |
    
    Dx = 7((-3)(-5) - (-2)(-1)) - 1(4(-5) - (-2)(23)) + (-1)(4(-1) - (-3)(23))
    Dx = 7(15 - 2) - 1(-20 + 46) - 1(-4 + 69)
    Dx = 7(13) - 1(26) - 1(65)
    Dx = 91 - 26 - 65
    Dx = 0

4.  **Hitung Determinan untuk y (Dy):**
    Ganti kolom koefisien y dengan kolom konstanta.
    Dy = |
      1   7  -1 |
      | 2   4  -2 |
      | 1  23  -5 |
    
    Dy = 1(4(-5) - (-2)(23)) - 7(2(-5) - (-2)(1)) + (-1)(2(23) - 4(1))
    Dy = 1(-20 + 46) - 7(-10 + 2) - 1(46 - 4)
    Dy = 1(26) - 7(-8) - 1(42)
    Dy = 26 + 56 - 42
    Dy = 82 - 42
    Dy = 40

5.  **Hitung Determinan untuk z (Dz):**
    Ganti kolom koefisien z dengan kolom konstanta.
    Dz = |
      1   1   7 |
      | 2  -3   4 |
      | 1  -1  23 |
    
    Dz = 1((-3)(23) - 4(-1)) - 1(2(23) - 4(1)) + 7(2(-1) - (-3)(1))
    Dz = 1(-69 + 4) - 1(46 - 4) + 7(-2 + 3)
    Dz = 1(-65) - 1(42) + 7(1)
    Dz = -65 - 42 + 7
    Dz = -107 + 7
    Dz = -100

6.  **Hitung nilai x, y, dan z:**
    x = Dx / D = 0 / 20 = 0
    y = Dy / D = 40 / 20 = 2
    z = Dz / D = -100 / 20 = -5

7.  **Verifikasi solusi:**
    Substitusikan nilai x=0, y=2, z=-5 ke dalam persamaan asli:
    Persamaan 1: 0 + 2 - (-5) = 0 + 2 + 5 = 7 (Benar)
    Persamaan 2: 2(0) - 3(2) - 2(-5) = 0 - 6 + 10 = 4 (Benar)
    Persamaan 3: 0 - 2 - 5(-5) = 0 - 2 + 25 = 23 (Benar)

Jadi, penyelesaian SPL tersebut adalah x=0, y=2, dan z=-5.