Semua nilai x yang memenuhi (x^2-3x+1)/(x^2+2x)<=-2/(x+2)

-2 < x < 0

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan (x^2 - 3x + 1)/(x^2 + 2x) <= -2/(x + 2), kita perlu memindahkan semua suku ke satu sisi dan mencari penyebut bersama.
(x^2 - 3x + 1)/(x(x + 2)) + 2/(x + 2) <= 0

Menyamakan penyebut:
(x^2 - 3x + 1)/(x(x + 2)) + 2x/(x(x + 2)) <= 0

Jumlahkan pembilangnya:
(x^2 - 3x + 1 + 2x) / (x(x + 2)) <= 0
(x^2 - x + 1) / (x(x + 2)) <= 0

Sekarang kita perlu menganalisis tanda dari pembilang dan penyebut. Untuk pembilang (x^2 - x + 1), kita cek diskriminannya (D = b^2 - 4ac):
D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3.
Karena diskriminan negatif dan koefisien x^2 positif, maka x^2 - x + 1 selalu positif untuk semua nilai x real.

Oleh karena itu, tanda dari pertidaksamaan hanya bergantung pada penyebut x(x + 2).
Penyebut akan bernilai nol ketika x = 0 atau x = -2. Titik-titik ini membagi garis bilangan menjadi tiga interval: (-∞, -2), (-2, 0), dan (0, ∞).

Kita perlu mencari interval di mana x(x + 2) negatif agar pertidaksamaan (pembilang positif / penyebut negatif) <= 0 terpenuhi.

Uji nilai untuk setiap interval:
1. Interval (-∞, -2): Ambil x = -3.
   (-3)(-3 + 2) = (-3)(-1) = 3 (positif)
2. Interval (-2, 0): Ambil x = -1.
   (-1)(-1 + 2) = (-1)(1) = -1 (negatif)
3. Interval (0, ∞): Ambil x = 1.
   (1)(1 + 2) = (1)(3) = 3 (positif)

Pertidaksamaan terpenuhi pada interval di mana x(x + 2) negatif, yaitu (-2, 0).
Karena pertidaksamaan menggunakan simbol '<=', kita harus memeriksa apakah nilai x yang membuat penyebut nol (x = 0 dan x = -2) termasuk dalam solusi. Namun, karena nilai-nilai ini membuat penyebut nol, mereka tidak termasuk dalam domain fungsi dan tidak bisa menjadi solusi.

Jadi, semua nilai x yang memenuhi adalah -2 < x < 0.