Garis-garis tinggi suatu segitiga lancip ABC adalah AD, BE,

Pembuktian menggunakan kesamaan segitiga yang melibatkan rasio segmen-segmen pada sisi-sisi segitiga.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa AF x BD x CE = BF x AE x CD pada segitiga lancip ABC dengan garis-garis tinggi AD, BE, dan CF, kita dapat menggunakan kesamaan segitiga. 

Karena AD, BE, dan CF adalah garis-garis tinggi, maka:
Sudut BDA = Sudut BEC = Sudut CFA = 90 derajat.

Perhatikan segitiga-segitiga siku-siku berikut:
1. Segitiga ACF dan Segitiga BCE:
   - Sudut A sama-sama dimiliki oleh kedua segitiga.
   - Sudut AFC = Sudut BEC = 90 derajat.
   - Oleh karena itu, Segitiga ACF sebangun dengan Segitiga BCE (Kesamaan Sudut-Sudut-Sisi).
   - Dari kesamaan ini, kita dapatkan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian: AF/BC = AC/BE = CF/CE.  Namun, perbandingan ini tidak langsung membantu.

Mari kita gunakan kesamaan lain yang melibatkan titik-titik pada sisi segitiga:

Perhatikan kesamaan segitiga berikut:
1. Segitiga AB D dan Segitiga ACF:
   - Sudut A sama-sama dimiliki oleh kedua segitiga.
   - Sudut ADB = Sudut AFC = 90 derajat.
   - Oleh karena itu, Segitiga ABD sebangun dengan Segitiga ACF (Kesamaan Sudut-Sudut).
   - Dari kesamaan ini, perbandingan sisi-sisinya adalah: AF/AD = AB/AC = FB/DC.  Ini juga tidak langsung membantu.

Mari kita fokus pada kesamaan yang menghubungkan segmen-segmen yang diberikan:

1. Segitiga ADC dan Segitiga BEC:
   - Sudut C sama-sama dimiliki oleh kedua segitiga.
   - Sudut ADC = Sudut BEC = 90 derajat.
   - Oleh karena itu, Segitiga ADC sebangun dengan Segitiga BEC (Kesamaan Sudut-Sudut).
   - Dari kesamaan ini, kita dapatkan perbandingan: CD/CE = AC/BC.  Ini juga tidak langsung membantu.

Mari kita coba pendekatan lain menggunakan perbandingan dari kesamaan yang melibatkan titik-titik pada sisi:

1.  Segitiga ABD sebangun dengan Segitiga ACF (karena sudut A sama dan sudut ADB = sudut AFC = 90 derajat).
    Dari kesamaan ini, kita dapatkan: AF/AC = AD/AB (perbandingan sisi yang berhadapan dengan sudut yang sama).
    Ini masih belum tepat. Kita perlu sisi-sisi yang bersesuaian. Sisi yang bersesuaian dengan AF adalah AE. Sisi yang bersesuaian dengan BD adalah CD.

   Mari kita perbaiki kesamaan yang digunakan:
   - Segitiga ABD dan Segitiga ACF: Sudut A sama, sudut ADB = sudut AFC = 90. Maka, Segitiga ABD ~ Segitiga ACF. Perbandingan sisi: AF/AE = AB/AC.  Ini juga keliru.

Mari kita gunakan sifat-sifat titik singgung pada lingkaran.
Karena AD, BE, CF adalah garis tinggi, maka titik D, E, F terletak pada sisi BC, AC, AB. Titik-titik D, E, F adalah titik-titik di mana garis tegak lurus dari sudut memotong sisi di depannya.

Perhatikan lingkaran yang melalui titik-titik sudut segitiga.

Mari kita fokus pada kesamaan segitiga yang benar:

1.  Dalam segitiga ABC, AD tegak lurus BC, BE tegak lurus AC, CF tegak lurus AB.

    Perhatikan segitiga BCE dan segitiga ACF:
    - Sudut C = Sudut C
    - Sudut BEC = Sudut AFC = 90°
    - Maka, Segitiga BCE ~ Segitiga ACF (kesamaan sudut-sudut).
    - Perbandingan sisi yang bersesuaian: CE/CF = BC/AC = BE/AF.
    - Dari sini, CE/CF = BE/AF => AF * CE = BE * CF. Ini belum sesuai.

Mari kita gunakan kesamaan yang melibatkan segmen-segmen pada sisi:

1.  Segitiga ABD dan Segitiga ACF:
    - Sudut A sama.
    - Sudut ADB = Sudut AFC = 90°.
    - Maka, Segitiga ABD ~ Segitiga ACF.
    - Perbandingan sisi yang bersesuaian: AF/AE = AB/AC.  Ini salah.
    - Perbandingan sisi yang benar: AF/AD = AC/AB = CF/BD.  Dari sini, AF/AD = CF/BD => AF * BD = AD * CF. Ini juga belum sesuai.

Mari kita coba dari hasil yang diinginkan: AF x BD x CE = BF x AE x CD.
Kita bisa membagi kedua sisi dengan ABCD untuk mendapatkan:
(AF/AE) * (BD/BD) * (CE/CD) = (BF/BD) * (AE/AE) * (CD/CD)
(AF/AE) * (CE/CD) = BF/BD

Mari kita periksa perbandingan dari kesamaan:

1.  Segitiga ACF dan Segitiga ABE:
    - Sudut A sama.
    - Sudut AFC = Sudut AEB = 90°.
    - Maka, Segitiga ACF ~ Segitiga ABE.
    - Perbandingan sisi yang bersesuaian: AF/AE = AC/AB = CF/BE.
    - Dari sini, AF/AE = AC/AB.  Ini belum sesuai.

Mari kita fokus pada produk:

Perhatikan kesamaan:
1. Segitiga ACF dan Segitiga BCE:
   - Sudut C sama.
   - Sudut AFC = Sudut BEC = 90°.
   - Maka, Segitiga ACF ~ Segitiga BCE.
   - Perbandingan sisi: AF/BE = AC/BC = CF/CE. Ini belum sesuai.

Mari kita gunakan teorema proyeksi pada sisi yang bersesuaian.

Dalam segitiga siku-siku, kuadrat sisi tegak adalah hasil kali sisi miring dengan proyeksinya pada sisi miring.

Perhatikan segitiga ABC dan garis tingginya AD.

Mari kita fokus pada kesamaan yang memberikan rasio yang kita inginkan:

1.  Dari segitiga ACF dan segitiga ABE:
    - Sudut A umum.
    - Sudut AFC = Sudut AEB = 90°.
    - Maka, segitiga ACF sebangun dengan segitiga ABE.
    - Perbandingan sisi: AF/AE = AC/AB = CF/BE.
    - Dari sini, AF/AE = AC/AB (1).

2.  Dari segitiga ABD dan segitiga CBE:
    - Sudut B umum.
    - Sudut ADB = Sudut CEB = 90°.
    - Maka, segitiga ABD sebangun dengan segitiga CBE.
    - Perbandingan sisi: BD/BE = AB/CB = AD/CE.
    - Dari sini, BD/BE = AB/CB (2).

3.  Dari segitiga BCE dan segitiga ACF:
    - Sudut C umum.
    - Sudut BEC = Sudut AFC = 90°.
    - Maka, segitiga BCE sebangun dengan segitiga ACF.
    - Perbandingan sisi: CE/CF = BC/AC = BE/AF.
    - Dari sini, CE/CF = BC/AC (3).

Perhatikan kembali tujuan kita: AF x BD x CE = BF x AE x CD.
Mari kita susun ulang menjadi:
(AF/AE) * (BD/CD) * (CE/BF) = 1.

Ini masih belum sesuai.

Mari kita gunakan kesamaan berikut:

1. Segitiga ABD dan Segitiga CBF:
   - Sudut B umum.
   - Sudut ADB = Sudut CFB = 90°.
   - Maka, Segitiga ABD sebangun dengan Segitiga CBF.
   - Perbandingan sisi: AB/CB = BD/BF = AD/CF.
   - Dari sini, BD/BF = AD/CF => BD * CF = AD * BF (Persamaan A).

2. Segitiga ACF dan Segitiga CBE:
   - Sudut C umum.
   - Sudut AFC = Sudut CEB = 90°.
   - Maka, Segitiga ACF sebangun dengan Segitiga CBE.
   - Perbandingan sisi: AC/CB = CF/CE = AF/BE.
   - Dari sini, CF/CE = AF/BE => CF * BE = AF * CE (Persamaan B).

3. Segitiga ABE dan Segitiga ACF:
   - Sudut A umum.
   - Sudut AEB = Sudut AFC = 90°.
   - Maka, Segitiga ABE sebangun dengan Segitiga ACF.
   - Perbandingan sisi: AB/AC = AE/AF = BE/CF.
   - Dari sini, AE/AF = BE/CF => AE * CF = AF * BE (Persamaan C).

Sekarang, mari kita coba manipulasi persamaan yang ingin dibuktikan: AF x BD x CE = BF x AE x CD.

Mari kita gunakan kesamaan lain:

1. Segitiga BFC dan Segitiga BEA:
   - Sudut B umum.
   - Sudut BFC = Sudut BEA = 90°.
   - Maka, Segitiga BFC sebangun dengan Segitiga BEA.
   - Perbandingan sisi: BF/BE = BC/BA = FC/EA.
   - Dari sini, BF/BE = FC/EA => BF * EA = BE * FC (Persamaan 1).

2. Segitiga CFA dan Segitiga CEB:
   - Sudut C umum.
   - Sudut CFA = Sudut CEB = 90°.
   - Maka, Segitiga CFA sebangun dengan Segitiga CEB.
   - Perbandingan sisi: CF/CE = CA/CB = FA/EB.
   - Dari sini, CF/CE = FA/EB => CF * EB = FA * CE (Persamaan 2).

3. Segitiga ADB dan Segitiga CEB:
   - Sudut B dan Sudut E adalah 90°.
   - Sudut B = Sudut B.
   - Sudut ADB = Sudut CEB = 90°.
   - Maka, Segitiga ADB sebangun dengan Segitiga CEB.
   - Perbandingan sisi: AD/CE = AB/CB = DB/EB.
   - Dari sini, AD/CE = DB/EB => AD * EB = CE * DB (Persamaan 3).

Mari kita coba kalikan persamaan yang kita punya dari kesamaan:

Kalikan Persamaan 1, Persamaan 2, dan Persamaan 3:
(BF * EA) * (CF * EB) * (AD * EB) = (BE * FC) * (FA * CE) * (CE * DB)
BF * EA * CF * EB * AD * EB = BE * FC * FA * CE * CE * DB

Ini tidak mengarah ke jawaban yang benar.

Mari kita kembali ke kesamaan yang memberikan rasio segmen yang kita inginkan:

1.  Segitiga ACF ~ Segitiga ABE (karena sudut A sama, sudut AFC = sudut AEB = 90°)
    Ini memberikan AF/AE = AC/AB.

2.  Segitiga ABD ~ Segitiga CBF (karena sudut B sama, sudut ADB = sudut CFB = 90°)
    Ini memberikan BD/BF = AD/CF.

3.  Segitiga BCE ~ Segitiga ACF (karena sudut C sama, sudut BEC = sudut AFC = 90°)
    Ini memberikan CE/CF = BC/AC.

Mari kita susun ulang persamaan yang ingin dibuktikan: AF x BD x CE = BF x AE x CD.

Kita bisa membagi kedua sisi dengan AE x BD x CE:
AF / (AE * BD * CE) = BF / (AE * BD * CE)

Mari kita coba kalikan rasio yang kita peroleh dari kesamaan:

(AF/AE) * (BD/BF) * (CE/CF) = (AC/AB) * (AD/CF) * (BC/AC)
(AF/AE) * (BD/BF) * (CE/CF) = (AD * BC) / (AB * CF)

Ini juga tidak membantu.

Mari kita gunakan produk segmen pada sisi:

Perhatikan bahwa titik-titik D, E, F berada pada sisi-sisi segitiga.

Dalam segitiga ABC, AD, BE, CF adalah garis tinggi.

Perhatikan kesamaan berikut:

1. Segitiga AB D dan Segitiga AC F:
   - Sudut A umum.
   - Sudut ADB = Sudut AFC = 90°.
   - Maka, Segitiga ABD sebangun dengan Segitiga ACF.
   - Perbandingan sisi: AF/AC = AD/AB = FD/CF.  Ini salah.
   - Perbandingan sisi yang benar: AF/AE = AB/AC (salah lagi).

   Mari kita gunakan kesamaan:
   - Segitiga ACF dan Segitiga ABE:
     - Sudut A = Sudut A
     - Sudut AFC = Sudut AEB = 90°
     - Maka, Segitiga ACF ~ Segitiga ABE
     - Perbandingan sisi: AF/AE = AC/AB = CF/BE.
     - Dari sini: AF/AE = AC/AB (1)

   - Segitiga ABD dan Segitiga CBF:
     - Sudut B = Sudut B
     - Sudut ADB = Sudut CFB = 90°
     - Maka, Segitiga ABD ~ Segitiga CBF
     - Perbandingan sisi: BD/BF = AB/CB = AD/CF.
     - Dari sini: BD/BF = AB/CB (2)

   - Segitiga BCE dan Segitiga ACD:
     - Sudut C = Sudut C
     - Sudut BEC = Sudut ADC = 90°
     - Maka, Segitiga BCE sebangun dengan Segitiga ACD.
     - Perbandingan sisi: CE/CD = BC/AC = BE/AD.
     - Dari sini: CE/CD = BC/AC (3)

   Sekarang mari kita kalikan tiga persamaan tersebut:
   (AF/AE) * (BD/BF) * (CE/CD) = (AC/AB) * (AB/CB) * (BC/AC)
   (AF/AE) * (BD/BF) * (CE/CD) = (AC * AB * BC) / (AB * CB * AC)
   (AF/AE) * (BD/BF) * (CE/CD) = 1

   Ini masih belum sesuai dengan yang ingin dibuktikan.

Mari kita gunakan kesamaan yang benar untuk mendapatkan rasio yang diinginkan:

Kita ingin membuktikan: AF x BD x CE = BF x AE x CD.

Susun ulang menjadi:
AF/AE = (BF * CD) / (BD * CE).

Mari kita periksa kembali kesamaan yang benar:

1. Segitiga ACF ~ Segitiga ABE:
   - AF/AE = AC/AB.

2. Segitiga ABD ~ Segitiga CBF:
   - BD/BF = AD/CF.

3. Segitiga BCE ~ Segitiga ACD:
   - CE/CD = BE/AD.

Jika kita mengalikan (1) dan (3): (AF/AE) * (CE/CD) = (AC/AB) * (BE/AD).
Ini tidak langsung membantu.

Mari kita gunakan kesamaan yang melibatkan titik-titik pada sisi:

1. Segitiga AB D sebangun dengan Segitiga CB F:
   - Sudut B sama.
   - Sudut ADB = Sudut CFB = 90°.
   - Maka, AB/CB = BD/BF = AD/CF.
   - Dari sini, BD/BF = AD/CF => BD * CF = AD * BF.

2. Segitiga AC F sebangun dengan Segitiga BC E:
   - Sudut C sama.
   - Sudut AFC = Sudut BEC = 90°.
   - Maka, AC/BC = CF/CE = AF/BE.
   - Dari sini, CF/CE = AF/BE => CF * BE = AF * CE.

3. Segitiga AB E sebangun dengan Segitiga AC F:
   - Sudut A sama.
   - Sudut AEB = Sudut AFC = 90°.
   - Maka, AB/AC = AE/AF = BE/CF.
   - Dari sini, AE/AF = BE/CF => AE * CF = AF * BE.

Sekarang, mari kita fokus pada pembuktian AF x BD x CE = BF x AE x CD.

Kita bisa membagi kedua sisi dengan ABCD untuk mendapatkan:
(AF/AE) * (BD/BD) * (CE/CD) = (BF/BD) * (AE/AE) * (CD/CD)
(AF/AE) * (CE/CD) = BF/BD.

Mari kita gunakan kesamaan yang tepat:

1. Segitiga ACF ~ Segitiga ABE => AF/AE = AC/AB.
2. Segitiga ABD ~ Segitiga CBF => BD/BF = AD/CF.
3. Segitiga BCE ~ Segitiga ACD => CE/CD = BE/AD.

Kalikan kesamaan 1 dan 3:
(AF/AE) * (CE/CD) = (AC/AB) * (BE/AD).

Kita perlu memasukkan BD/BF ke dalam persamaan ini.

Mari kita coba susun ulang persamaan yang ingin dibuktikan:
(AF/AE) * (BD/BF) * (CE/CD) = 1.

Dari kesamaan:
1. AF/AE = AC/AB
2. BD/BF = AD/CF
3. CE/CD = BE/AD

Kalikan ketiganya:
(AF/AE) * (BD/BF) * (CE/CD) = (AC/AB) * (AD/CF) * (BE/AD)
(AF/AE) * (BD/BF) * (CE/CD) = (AC * AD * BE) / (AB * CF * AD)
(AF/AE) * (BD/BF) * (CE/CD) = (AC * BE) / (AB * CF).

Ini tidak sama dengan 1.

Mari kita coba kesamaan yang benar:

Dalam segitiga ABC, AD, BE, CF adalah garis tinggi.

1.  Segitiga ABD dan Segitiga ACF:
    - Sudut A sama.
    - Sudut ADB = Sudut AFC = 90°.
    - Maka, Segitiga ABD ~ Segitiga ACF.
    - Perbandingan sisi: AF/AC = AD/AB = FD/CF. (Ini salah).
    - Perbandingan sisi yang benar: AF/AE = AB/AC. (Ini juga salah).

    Mari kita gunakan kesamaan yang memberikan rasio segmen yang diinginkan:

    Perhatikan titik-titik D, E, F pada sisi-sisi BC, AC, AB.

    1.  Segitiga ACF dan Segitiga ABE:
        - Sudut A sama.
        - Sudut AFC = Sudut AEB = 90°.
        - Maka, Segitiga ACF ~ Segitiga ABE.
        - Perbandingan sisi: AF/AE = AC/AB = CF/BE.
        - Dari sini: AF/AE = AC/AB (1).

    2.  Segitiga ABD dan Segitiga CBF:
        - Sudut B sama.
        - Sudut ADB = Sudut CFB = 90°.
        - Maka, Segitiga ABD ~ Segitiga CBF.
        - Perbandingan sisi: BD/BF = AB/CB = AD/CF.
        - Dari sini: BD/BF = AB/CB (2).

    3.  Segitiga BCE dan Segitiga ACD:
        - Sudut C sama.
        - Sudut BEC = Sudut ADC = 90°.
        - Maka, Segitiga BCE ~ Segitiga ACD.
        - Perbandingan sisi: CE/CD = BC/AC = BE/AD.
        - Dari sini: CE/CD = BC/AC (3).

    Sekarang, mari kita susun ulang persamaan yang ingin dibuktikan: AF x BD x CE = BF x AE x CD.
    Bagi kedua sisi dengan AE x BD x CE:
    AF/(AE x BD x CE) = BF/(AE x BD x CE).

    Mari kita coba kalikan perbandingan dari kesamaan:

    Kalikan (1) dan (3):
    (AF/AE) * (CE/CD) = (AC/AB) * (BC/AC) = BC/AB.

    Dari (2), kita punya BD/BF = AB/CB.
    Maka, BF/BD = CB/AB.

    Sekarang, mari kita substitusikan BF/BD ke dalam persamaan yang ingin dibuktikan:
    AF x CE / (AE x CD) = BF/BD.
    AF x CE / (AE x CD) = CB/AB.

    Ini belum cocok.

    Mari kita coba pendekatan lain:
    Gunakan trigonometri.
    Dalam segitiga siku-siku ABD, cos B = BD/AB => BD = AB cos B.
    Dalam segitiga siku-siku ACF, cos A = AF/AC => AF = AC cos A.
    Dalam segitiga siku-siku BCE, cos B = BE/BC => BE = BC cos B.
    Dalam segitiga siku-siku ACF, cos C = CF/AC => CF = AC cos C.
    Dalam segitiga siku-siku BCE, cos C = CE/BC => CE = BC cos C.
    Dalam segitiga siku-siku ABD, cos A = AD/AB => AD = AB cos A.

    Perhatikan kesamaan yang benar:

    1. Segitiga ABD ~ Segitiga CBF:
       AB/CB = BD/BF => BF = CB * (BD/AB).
       Menggunakan cos B: BD = AB cos B, maka BF = CB * (AB cos B / AB) = CB cos B.

    2. Segitiga ACF ~ Segitiga CBE:
       AC/CB = CF/CE => CE = CB * (CF/AC).
       Menggunakan cos C: CF = AC cos C, maka CE = CB * (AC cos C / AC) = CB cos C.

    3. Segitiga ABE ~ Segitiga ACF:
       AC/AB = AF/AE => AE = AB * (AF/AC).
       Menggunakan cos A: AF = AC cos A, maka AE = AB * (AC cos A / AC) = AB cos A.

    Sekarang substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan yang ingin dibuktikan:
    AF x BD x CE = BF x AE x CD.

    Kita perlu CD.
    Dalam segitiga siku-siku ACD, cos C = CD/AC => CD = AC cos C.

    Substitusikan:
    (AC cos A) * (AB cos B) * (CB cos C) = (CB cos B) * (AB cos A) * (AC cos C).

    Kedua sisi sama.
    (AC * AB * CB * cos A * cos B * cos C) = (CB * AB * AC * cos B * cos A * cos C).

    Jadi, terbukti bahwa AF x BD x CE = BF x AE x CD.

**Pembuktian dengan Kesamaan Segitiga:**

Kita ingin membuktikan: AF x BD x CE = BF x AE x CD.

Susun ulang persamaan menjadi:
(AF/AE) * (BD/BD) * (CE/CD) = (BF/BD) * (AE/AE) * (CD/CD)
(AF/AE) * (CE/CD) = BF/BD.

Mari kita gunakan kesamaan segitiga yang tepat:

1.  Segitiga ACF dan Segitiga ABE:
    - Sudut A sama.
    - Sudut AFC = Sudut AEB = 90°.
    - Maka, Segitiga ACF ~ Segitiga ABE (kesamaan sudut-sudut).
    - Perbandingan sisi yang bersesuaian: AF/AE = AC/AB = CF/BE.
    - Dari sini, kita dapatkan: AF/AE = AC/AB (Persamaan 1).

2.  Segitiga ABD dan Segitiga CBF:
    - Sudut B sama.
    - Sudut ADB = Sudut CFB = 90°.
    - Maka, Segitiga ABD ~ Segitiga CBF (kesamaan sudut-sudut).
    - Perbandingan sisi yang bersesuaian: BD/BF = AB/CB = AD/CF.
    - Dari sini, kita dapatkan: BD/BF = AB/CB (Persamaan 2).

3.  Segitiga BCE dan Segitiga ACD:
    - Sudut C sama.
    - Sudut BEC = Sudut ADC = 90°.
    - Maka, Segitiga BCE ~ Segitiga ACD (kesamaan sudut-sudut).
    - Perbandingan sisi yang bersesuaian: CE/CD = BC/AC = BE/AD.
    - Dari sini, kita dapatkan: CE/CD = BC/AC (Persamaan 3).

Sekarang, mari kita kalikan Persamaan 1 dan Persamaan 3:
(AF/AE) * (CE/CD) = (AC/AB) * (BC/AC)
(AF/AE) * (CE/CD) = BC/AB.

Dari Persamaan 2, kita dapatkan BF/BD = CB/AB.

Perhatikan persamaan yang ingin dibuktikan: AF x BD x CE = BF x AE x CD.
Susun ulang menjadi: (AF/AE) * (CE/CD) = BF/BD.

Kita sudah punya:
- AF/AE = AC/AB
- CE/CD = BC/AC
- BF/BD = CB/AB

Kalikan dua persamaan pertama:
(AF/AE) * (CE/CD) = (AC/AB) * (BC/AC) = BC/AB.

Jadi, (AF/AE) * (CE/CD) = BC/AB.
Dan kita tahu BF/BD = CB/AB.

Karena BC = CB, maka BC/AB = CB/AB.
Oleh karena itu, (AF/AE) * (CE/CD) = BF/BD.

Kalikan kedua sisi dengan AE * BD * CD:
AF * CE * BD = BF * AE * CD.

Terbukti.