Seorang pedagang buah-buahan yang menggunakan gerobak

Pisang sebanyak mungkin sesuai batasan modal.

Pembahasan

Misalkan apel = x kg dan pisang = y kg.
Biaya pembelian apel = Rp1.000x
Biaya pembelian pisang = Rp400y

ModaL: $1000x + 400y \le 25000$, disederhanakan menjadi $5x + 2y \le 125$.
Muatan gerobak: $x + y \le 400$.

Misalkan keuntungan per kg apel = 2k dan keuntungan per kg pisang = k.
Fungsi tujuan (keuntungan total): $Z = 2kx + ky$.
Untuk memaksimalkan keuntungan, kita perlu mencari nilai x dan y yang memenuhi kendala dan memaksimalkan Z. Karena kita hanya perlu menentukan jenis buah yang harus dibeli untuk keuntungan maksimum, kita perlu menganalisis titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi kendala.

Kendala:
1) $5x + 2y \le 125$
2) $x + y \le 400$
3) $x \ge 0$
4) $y \ge 0$

Titik-titik pojok:
- Titik potong sumbu x dari $5x + 2y = 125$: $x = 25, y = 0$. (Titik A)
- Titik potong sumbu y dari $5x + 2y = 125$: $x = 0, y = 62.5$. (Titik B)
- Titik potong sumbu x dari $x + y = 400$: $x = 400, y = 0$.
- Titik potong sumbu y dari $x + y = 400$: $x = 0, y = 400$.

Titik potong antara $5x + 2y = 125$ dan $x + y = 400$:
$y = 400 - x$
$5x + 2(400 - x) = 125$
$5x + 800 - 2x = 125$
$3x = 125 - 800$
$3x = -675$
$x = -225$. Nilai x tidak mungkin negatif, jadi titik potong ini tidak relevan dalam konteks ini.

Sekarang kita perlu memeriksa titik-titik pojok yang relevan:
Titik (0,0): $Z = 0$
Titik (25,0): $Z = 2k(25) + k(0) = 50k$
Titik (0, 62.5): $Z = 2k(0) + k(62.5) = 62.5k$

Kita perlu memastikan bahwa titik (25,0) dan (0, 62.5) memenuhi kendala $x + y \le 400$.
Untuk (25,0): $25 + 0 = 25 \le 400$ (Memenuhi)
Untuk (0, 62.5): $0 + 62.5 = 62.5 \le 400$ (Memenuhi)

Membandingkan nilai Z:
$50k$ vs $62.5k$.
Keuntungan maksimum terjadi saat $y=62.5$ dan $x=0$. Namun, jumlah buah harus bilangan bulat. Jika kita membulatkan ke bawah untuk pisang menjadi 62 kg, maka:
Jika $y=62$, $5x + 2(62) \le 125 \implies 5x + 124 \le 125 \implies 5x \le 1 \implies x=0$. Keuntungan = $62k$.

Jika kita pertimbangkan titik yang mendekati (0, 62.5) dengan $x \ge 0, y \ge 0$ dan $5x+2y 
le 125$, nilai y yang lebih besar akan memberikan keuntungan lebih besar karena koefisien k pada y lebih kecil daripada 2k pada x.

Oleh karena itu, untuk memperoleh keuntungan terbesar, pedagang itu harus membeli pisang sebanyak mungkin sesuai batasan modal, yaitu sekitar 62.5 kg pisang dan 0 kg apel. Jika harus bilangan bulat, maka membeli 62 kg pisang dan 0 kg apel.