Seorang pengusaha mebel mempunyai modal Rpl.6oo.000,00 dan

Keuntungan bersih terbesar yang dapat diperoleh adalah Rp 130.500 dengan memproduksi 7 lemari dan 1 meja.

Pembahasan

Untuk menentukan keuntungan bersih terbesar, kita perlu menggunakan konsep program linear.

Misalkan:
x = jumlah lemari yang diproduksi
y = jumlah meja yang diproduksi

Kendala:
1. Modal: \(20x + 8y \le 360\) (lembar papan)
2. Biaya: \(80000x + 40000y \le 600000\) (dalam Rupiah)
   Disederhanakan: \(2x + y \le 15\)
3. Non-negatif: \(x \ge 0, y \ge 0\)

Fungsi Tujuan (Keuntungan):
Z = \(17500x + 8000y\)

Kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yang dibatasi oleh kendala-kendala tersebut.

Dari kendala 1: \(20x + 8y = 360\) => \(5x + 2y = 90\)
Dari kendala 2: \(2x + y = 15\) => \(y = 15 - 2x\)

Substitusikan kendala 2 ke kendala 1:
\(5x + 2(15 - 2x) = 90\)
\(5x + 30 - 4x = 90\)
\(x + 30 = 90\)
\(x = 60\)

Jika \(x = 60\), maka \(y = 15 - 2(60) = 15 - 120 = -105\). Karena \(y\) tidak boleh negatif, maka titik ini tidak valid.

Mari kita cari titik potong lain:
Titik potong sumbu x untuk \(5x + 2y = 90\): \(5x = 90 \Rightarrow x = 18\) (titik (18, 0))
Titik potong sumbu y untuk \(5x + 2y = 90\): \(2y = 90 \Rightarrow y = 45\) (titik (0, 45))

Titik potong sumbu x untuk \(2x + y = 15\): \(2x = 15 \Rightarrow x = 7.5\) (titik (7.5, 0))
Titik potong sumbu y untuk \(2x + y = 15\): \(y = 15\) (titik (0, 15))

Titik potong kedua garis:
Dari \(2x + y = 15\), kita punya \(y = 15 - 2x\).
Substitusikan ke \(5x + 2y = 90\):
\(5x + 2(15 - 2x) = 90\)
\(5x + 30 - 4x = 90\)
\(x = 60\). Ini salah, mari kita periksa kembali.

Seharusnya kendala papan kayu adalah \(20x + 8y \\le 360\) lembar papan, dengan asumsi 1 lemari = 20 papan, 1 meja = 8 papan.
Modal Rp 600.000, biaya unit lemari Rp 80.000, biaya unit meja Rp 40.000.
Keuntungan lemari Rp 17.500, keuntungan meja Rp 8.000.

Kendala:
1. Papan: \(20x + 8y \le 360 \implies 5x + 2y \le 90\)
2. Biaya: \(80.000x + 40.000y \le 600.000 \implies 2x + y \le 15\)
3. \(x \ge 0, y \ge 0\)

Fungsi Tujuan: \(Z = 17.500x + 8.000y\)

Titik pojok:
- Titik O: (0, 0) => Z = 0
- Titik A (perpotongan sumbu y dengan \(2x + y = 15\)): (0, 15) => Z = 17.500(0) + 8.000(15) = 120.000
- Titik B (perpotongan sumbu x dengan \(5x + 2y = 90\)): (18, 0). Namun, titik ini harus memenuhi \(2x + y \le 15\). Jika x=18, \(2(18) + 0 = 36\), yang tidak memenuhi \(36 \le 15\). Jadi titik (18,0) tidak valid.
- Titik C (perpotongan \(5x + 2y = 90\) dan \(2x + y = 15\)):
  Dari \(2x + y = 15\), maka \(y = 15 - 2x\).
  Substitusikan ke \(5x + 2y = 90\):
  \(5x + 2(15 - 2x) = 90\)
  \(5x + 30 - 4x = 90\)
  \(x = 60\). Masih salah. Mari kita cek kembali soalnya.

Asumsi: Bahan untuk lemari = 20 lembar, bahan untuk meja = 8 lembar. Total 360 lembar papan.
Modal Rp 600.000. Biaya lemari Rp 80.000, biaya meja Rp 40.000.
Keuntungan lemari Rp 17.500, keuntungan meja Rp 8.000.

Kendala Papan: \(20x + 8y \le 360 \implies 5x + 2y \le 90\)
Kendala Biaya: \(80.000x + 40.000y \le 600.000 \implies 2x + y \le 15\)

Titik potong garis \(5x + 2y = 90\) dan \(2x + y = 15\):
Dari \(y = 15 - 2x\), substitusikan ke \(5x + 2y = 90\):
\(5x + 2(15 - 2x) = 90\)
\(5x + 30 - 4x = 90\)
\(x = 60\). Tetap 60. Mungkin ada kesalahan interpretasi data soal.

Mari kita asumsikan ulang:
Modal = 600.000
Lembar Papan = 360

Lemari:
Papan = 20 lembar, Biaya = 80.000, Keuntungan = 17.500
Meja:
Papan = 8 lembar, Biaya = 40.000, Keuntungan = 8.000

Kendala Papan: \(20x + 8y \le 360\) atau \(5x + 2y \le 90\)
Kendala Modal: \(80.000x + 40.000y \le 600.000\) atau \(2x + y \le 15\)

Titik pojok:
1. (0, 0) -> Z = 0
2. Perpotongan \(y\)-axis dengan \(2x + y = 15\): (0, 15) -> Z = \(17500(0) + 8000(15) = 120.000\)
3. Perpotongan \(x\)-axis dengan \(5x + 2y = 90\): (18, 0). Cek kendala modal: \(2(18) + 0 = 36 \not\le 15\). Tidak valid.
4. Perpotongan \(x\)-axis dengan \(2x + y = 15\): (7.5, 0) -> Z = \(17500(7.5) + 8000(0) = 131.250\)
5. Perpotongan garis \(5x + 2y = 90\) dan \(2x + y = 15\):
   \(y = 15 - 2x\)
   \(5x + 2(15 - 2x) = 90\)
   \(5x + 30 - 4x = 90\)
   \(x = 60\). Masih sama. Ini mengindikasikan bahwa perpotongan kedua garis ini berada di luar daerah yang layak berdasarkan kendala \(x \ge 0, y \ge 0\) dan \(2x+y \le 15\) jika \(x=60\) membuat \(y\) negatif. Namun, perpotongan harus ada di dalam kuadran pertama.

Mari kita periksa titik potong garis \(5x + 2y = 90\) dengan sumbu y: (0, 45). Cek kendala modal: \(2(0) + 45 = 45 \not\le 15\). Tidak valid.

Jadi, daerah yang layak dibatasi oleh (0,0), (7.5, 0), (0, 15), dan perpotongan kedua garis yang seharusnya memenuhi kedua kendala.

Mari kita cari titik potong yang benar antara \(5x + 2y = 90\) dan \(2x + y = 15\).
Dari \(y = 15 - 2x\), substitusikan ke \(5x + 2y = 90\): 
\(5x + 2(15 - 2x) = 90\)
\(5x + 30 - 4x = 90\)
\(x = 60\).
Ini berarti ada kesalahan dalam pemahaman atau penulisan soal, karena \(x=60\) tidak mungkin terjadi dalam kendala \(2x+y \le 15\) dan \(5x+2y \le 90\) secara bersamaan untuk nilai y yang non-negatif.

Asumsi lain: Mungkin 360 lembar papan adalah batasan total modal, bukan lembar papan. Tapi soal menyebutkan "360 lembar papan kayu".

Mari kita coba mencari titik potong yang memenuhi kedua pertidaksamaan:
Titik (0,0): Z = 0
Titik (7.5, 0): Z = 131.250
Titik (0, 15): Z = 120.000

Kita perlu mencari titik potong kedua garis jika memang ada di dalam daerah yang layak.
\(5x + 2y = 90\)
\(4x + 2y = 30\) (mengalikan \(2x + y = 15\) dengan 2)
Kurangkan kedua persamaan:
\((5x - 4x) + (2y - 2y) = 90 - 30\)
\(x = 60\). Ini terus muncul, yang berarti kedua garis ini berpotongan di \(x = 60\).

Jika \(x = 60\), maka \(y = 15 - 2(60) = 15 - 120 = -105\). Titik potong (60, -105) berada di luar kuadran pertama.

Ini berarti daerah penyelesaian dibatasi oleh titik-titik:
(0, 0)
(7.5, 0) -- karena \(2x+y \le 15\)
(0, 15) -- karena \(2x+y \le 15\)

Kita perlu memeriksa apakah titik (7.5, 0) memenuhi \(5x + 2y \le 90\): \(5(7.5) + 2(0) = 37.5 \le 90\). Ya.
Kita perlu memeriksa apakah titik (0, 15) memenuhi \(5x + 2y \le 90\): \(5(0) + 2(15) = 30 \le 90\). Ya.

Jadi, titik-titik pojok yang relevan adalah:
(0, 0) -> Z = 0
(7.5, 0) -> Z = 131.250
(0, 15) -> Z = 120.000

Nilai Z terbesar adalah 131.250 pada titik (7.5, 0). Karena jumlah unit harus bilangan bulat, kita perlu mempertimbangkan titik-titik integer di sekitar (7.5, 0) yang memenuhi kendala.
Titik (7, 0): Kendala 1: \(5(7) + 2(0) = 35 \le 90\). Kendala 2: \(2(7) + 0 = 14 \le 15\). Z = \(17500(7) + 8000(0) = 122.500\).
Titik (6, 3): Kendala 1: \(5(6) + 2(3) = 30 + 6 = 36 \le 90\). Kendala 2: \(2(6) + 3 = 12 + 3 = 15 \le 15\). Z = \(17500(6) + 8000(3) = 105.000 + 24.000 = 129.000\).
Titik (5, 5): Kendala 1: \(5(5) + 2(5) = 25 + 10 = 35 \le 90\). Kendala 2: \(2(5) + 5 = 10 + 5 = 15 \le 15\). Z = \(17500(5) + 8000(5) = 87.500 + 40.000 = 127.500\).

Nilai terbesar didapat pada titik (7, 0) yaitu Rp 122.500.
Namun, jika kita mempertimbangkan nilai maksimum teoritis pada (7.5, 0), ini berarti mendekati 7.5 unit meja. Karena tidak bisa membuat setengah unit, kita perlu periksa integer yang memenuhi.

Mari kita coba titik yang memenuhi \(2x+y=15\) dan mendekati \(x=7.5\).
Jika x=7, y=1 -> Z = 17500(7) + 8000(1) = 122500 + 8000 = 130.500. Cek papan: 5(7) + 2(1) = 35+2 = 37 <= 90. Valid.
Jika x=6, y=3 -> Z = 17500(6) + 8000(3) = 105000 + 24000 = 129.000. Cek papan: 5(6) + 2(3) = 30+6 = 36 <= 90. Valid.
Jika x=5, y=5 -> Z = 17500(5) + 8000(5) = 87500 + 40000 = 127.500. Cek papan: 5(5) + 2(5) = 25+10 = 35 <= 90. Valid.

Nilai keuntungan terbesar adalah Rp 130.500 dengan memproduksi 7 lemari dan 1 meja.