Seorang pengusaha yang akan memproduksi sebuah barang

a. V(n) = 8n + 80, V^-1(x) = (x-80)/8. b. 2.5 mesin.

Pembahasan

Untuk soal ini, kita perlu menentukan rumus fungsi komposit $(V \circ x)$ dan inversnya $(V \circ x)^{-1}$, serta menghitung biaya mesin jika produksi dibatasi Rp100.000,00.

Diketahui:
Biaya Variabel (V) dipengaruhi jumlah barang (x): $V = 2x + 80$
Jumlah barang (x) dipengaruhi banyak mesin (n): $x = 4n$

a. Menentukan rumus fungsi $(V \circ x)$ dan $(V \circ x)^{-1}$.

Fungsi komposit $(V \circ x)(n)$ berarti substitusi fungsi x ke dalam fungsi V.
Namun, di sini V adalah fungsi dari x, dan x adalah fungsi dari n. Jadi, yang dimaksud $(V \circ x)$ kemungkinan adalah $V(x)$, dan kita perlu mencari $V(n)$.
Jika $V$ adalah biaya dan $x$ adalah jumlah barang, maka $V(x) = 2x+80$.
Jika $x$ adalah jumlah barang dan $n$ adalah banyak mesin, maka $x(n) = 4n$.

Maka, $V(n) = V(x(n)) = 2(x(n)) + 80 = 2(4n) + 80 = 8n + 80$.
Jadi, rumus fungsi biaya total dalam ribuan rupiah sebagai fungsi dari jumlah mesin adalah $V(n) = 8n + 80$.

Sekarang kita cari inversnya, $(V \circ x)^{-1}$ atau $V^{-1}(y)$. Kita ubah $V = 8n + 80$ menjadi $n$ dalam bentuk $V$.
$V = 8n + 80$
$V - 80 = 8n$
$n = \frac{V - 80}{8}$

Maka, $V^{-1}(V) = \frac{V - 80}{8}$. Jika kita menggunakan variabel yang sama, $V^{-1}(x) = \frac{x - 80}{8}$.

b. Menghitung biaya mesin jika biaya produksi Rp100.000,00.

Biaya produksi V diberikan dalam ribuan rupiah. Jadi, Rp100.000,00 sama dengan 100 dalam ribuan rupiah.
Kita gunakan fungsi $V(n) = 8n + 80$ dan set $V = 100$.

$100 = 8n + 80$
$100 - 80 = 8n$
$20 = 8n$
$n = \frac{20}{8}$
$n = \frac{5}{2}$
$n = 2.5$

Jadi, jika pengusaha tersebut membiayai produksi sebesar Rp100.000,00, maka dibutuhkan 2.5 unit mesin. Karena jumlah mesin biasanya bilangan bulat, mungkin ada pembulatan atau interpretasi lain tergantung konteks soal yang lebih luas. Namun, berdasarkan perhitungan matematis, jawabannya adalah 2.5.