Seorang petani memiliki sebuah sawah di sebelah sungai yang

Panjang pagar adalah 800 kaki dan lebar pagar adalah 400 kaki.

Pembahasan

Misalkan panjang sawah adalah l dan lebarnya adalah w. Luas sawah adalah A = l * w.
Petani memiliki pagar sepanjang 1.600 kaki. Karena sawah berbentuk persegi panjang dan satu sisi berbatasan dengan sungai (tidak perlu dipagar), maka total panjang pagar yang digunakan adalah untuk tiga sisi: satu sisi panjang dan dua sisi lebar, atau dua sisi panjang dan satu sisi lebar. Asumsi yang paling umum adalah sisi yang berbatasan dengan sungai adalah salah satu sisi panjang.

Jadi, keliling yang dipagari adalah: l + 2w = 1600.
Kita ingin memaksimalkan luas A = l * w.
Dari persamaan keliling, kita bisa ungkapkan l dalam w: l = 1600 - 2w.
Substitusikan ini ke dalam persamaan luas:
A(w) = (1600 - 2w) * w
A(w) = 1600w - 2w²

Untuk mencari nilai w yang memaksimalkan luas, kita cari turunan pertama A(w) terhadap w dan setarakan dengan nol:
A'(w) = d/dw (1600w - 2w²)
A'(w) = 1600 - 4w

Setarakan A'(w) dengan nol:
1600 - 4w = 0
4w = 1600
w = 1600 / 4
w = 400 kaki

Sekarang cari panjang l menggunakan nilai w:
l = 1600 - 2w
l = 1600 - 2(400)
l = 1600 - 800
l = 800 kaki

Untuk memastikan ini adalah maksimum, kita bisa cek turunan kedua:
A''(w) = -4. Karena turunan kedua negatif, ini mengkonfirmasi bahwa nilai w = 400 memberikan luas maksimum.

Jadi, panjang pagar agar memiliki area maksimum adalah 800 kaki dan lebarnya adalah 400 kaki.