Seorang siswa harus menjawab 10 soal pilihan berganda,

a. ~0.0264, b. ~0.0000737, c. ~0.3222

Pembahasan

Ini adalah soal peluang dengan distribusi binomial.
Misalkan n adalah jumlah percobaan (soal yang dijawab) dan p adalah peluang sukses (menjawab benar) pada setiap percobaan.
Dalam kasus ini, n = 10 (jumlah soal).
Karena setiap soal memiliki 5 alternatif jawaban dan hanya 1 yang benar, maka peluang menjawab benar (p) = 1/5 = 0.2.
Peluang menjawab salah (q) = 1 - p = 1 - 0.2 = 0.8.

Rumus peluang binomial adalah P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k), di mana C(n, k) adalah koefisien binomial (n choose k).

a. Peluang menjawab 5 soal dengan benar (k=5):
P(X=5) = C(10, 5) * (0.2)^5 * (0.8)^(10-5)
P(X=5) = C(10, 5) * (0.2)^5 * (0.8)^5
C(10, 5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 10! / (5! * 5!) = (10*9*8*7*6) / (5*4*3*2*1) = 252
P(X=5) = 252 * (0.00032) * (0.32768)
P(X=5) = 252 * 0.0001048576 ≈ 0.0264

b. Peluang menjawab 8 soal dengan benar (k=8):
P(X=8) = C(10, 8) * (0.2)^8 * (0.8)^(10-8)
P(X=8) = C(10, 8) * (0.2)^8 * (0.8)^2
C(10, 8) = 10! / (8! * 2!) = (10*9) / (2*1) = 45
P(X=8) = 45 * (0.00000256) * (0.64)
P(X=8) = 45 * 0.0000016384 ≈ 0.0000737

c. Peluang paling sedikit 3 soal benar (P(X>=3)):
Ini berarti P(X=3) + P(X=4) + ... + P(X=10).
Cara yang lebih mudah adalah menghitung 1 - P(X<3) = 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)).

P(X=0) = C(10, 0) * (0.2)^0 * (0.8)^10 = 1 * 1 * (0.8)^10 ≈ 0.1074
P(X=1) = C(10, 1) * (0.2)^1 * (0.8)^9 = 10 * 0.2 * (0.8)^9 ≈ 2 * 0.1342 ≈ 0.2684
P(X=2) = C(10, 2) * (0.2)^2 * (0.8)^8 = 45 * 0.04 * (0.8)^8 ≈ 45 * 0.04 * 0.1678 ≈ 0.3020

P(X<3) ≈ 0.1074 + 0.2684 + 0.3020 = 0.6778
P(X>=3) = 1 - P(X<3) ≈ 1 - 0.6778 = 0.3222