Sepotong kawat yang panjangnya 52 cm dibuat trapesium sama

a. L = 104x - 20x^2, b. x = 2.6, y = 5.2, c. Luas maksimum = 135.2

Pembahasan

a. Luas trapesium (L) diberikan oleh rumus L = 1/2 * (jumlah sisi sejajar) * tinggi.
Dalam trapesium sama kaki ini, panjang sisi-sisi sejajar adalah 6x+y dan y. Tinggi trapesium adalah 5x.
Jadi, L = 1/2 * ((6x+y) + y) * 5x
L = 1/2 * (6x + 2y) * 5x
L = (3x + y) * 5x
L = 15x^2 + 5xy

Namun, kita perlu mengekspresikan L hanya dalam bentuk x. Perhatikan bahwa keliling trapesium adalah jumlah semua sisinya: 52 cm.
Keliling = 5x + 5x + (6x+y) + y
52 = 10x + 6x + 2y
52 = 16x + 2y
2y = 52 - 16x
y = 26 - 8x

Sekarang substitusikan nilai y ke dalam rumus luas:
L = 15x^2 + 5x(26 - 8x)
L = 15x^2 + 130x - 40x^2
L = 130x - 25x^2

Soal menyatakan L=104x-20 x^2. Mari kita periksa kembali informasi yang diberikan. Jika kita mengasumsikan alas sejajar adalah 6x dan alas sejajar lainnya adalah y, dan tinggi adalah 5x. Ini tampaknya tidak sesuai dengan gambar yang diberikan, di mana sisi miring adalah 5x dan alas bawah adalah 6x+y, serta alas atas adalah y. Jika kita mengasumsikan AB=6x+y dan CD=y, serta tinggi trapesium adalah 5x, maka luasnya adalah L = 1/2 * (6x+y+y) * 5x = 1/2 * (6x+2y) * 5x = (3x+y)5x = 15x^2 + 5xy. Jika kita mengasumsikan sisi sejajar adalah 6x dan y, dan tinggi adalah 5x, maka L=1/2(6x+y)5x = 15x^2 + 5/2 xy. 

Mari kita perhatikan kembali soal nomor 4. Ada kemungkinan salah ketik dalam soal atau gambar tidak sesuai dengan deskripsi. Jika kita mengasumsikan bahwa alas-alas trapesium adalah 6x dan y, dan sisi miringnya adalah 5x, serta tinggi trapesium adalah h. Maka kita perlu mencari h. Dengan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku yang dibentuk oleh tinggi, setengah selisih alas, dan sisi miring: h^2 + ((6x-y)/2)^2 = (5x)^2.

Jika kita mengasumsikan soal menyatakan: Sepotong kawat yang panjangnya 52 cm dibuat trapesium sama kaki seperti gambar berikut. Sisi sejajar adalah y dan 6x. Sisi miring adalah 5x. Maka kelilingnya adalah y + 6x + 5x + 5x = y + 16x = 52. Jadi y = 52 - 16x. Tinggi trapesium (h) dapat ditemukan dengan teorema Pythagoras: h^2 + ((6x-y)/2)^2 = (5x)^2. h^2 + ((6x - (52-16x))/2)^2 = 25x^2. h^2 + ((22x-52)/2)^2 = 25x^2. h^2 + (11x-26)^2 = 25x^2.

Mari kita asumsikan bahwa soal tersebut merujuk pada keliling dan luas trapesium dengan sisi-sisi seperti yang tertera pada gambar, di mana sisi miring adalah 5x, alas bawah adalah 6x + y, dan alas atas adalah y. Keliling = 5x + 5x + (6x+y) + y = 10x + 6x + 2y = 16x + 2y. Jika kelilingnya adalah 52 cm, maka 16x + 2y = 52, atau 8x + y = 26, sehingga y = 26 - 8x.

Tinggi trapesium (h) dapat dihitung dengan teorema Pythagoras. Perhatikan segitiga siku-siku yang dibentuk oleh tinggi, setengah selisih alas sejajar, dan sisi miring.
Setengah selisih alas sejajar = ( (6x+y) - y ) / 2 = 6x / 2 = 3x.

Maka, h^2 + (3x)^2 = (5x)^2
h^2 + 9x^2 = 25x^2
h^2 = 16x^2
h = 4x

Sekarang kita bisa menghitung luas trapesium (L) dalam bentuk x:
L = 1/2 * (jumlah sisi sejajar) * tinggi
L = 1/2 * ((6x+y) + y) * h
L = 1/2 * (6x + 2y) * 4x
L = (3x + y) * 4x
L = 12x^2 + 4xy

Substitusikan y = 26 - 8x:
L = 12x^2 + 4x(26 - 8x)
L = 12x^2 + 104x - 32x^2
L = 104x - 20x^2

Jadi, terbukti bahwa L = 104x - 20x^2.

b. Untuk menentukan nilai x dan y agar luasnya maksimum, kita perlu mencari nilai x yang memaksimulasikan fungsi kuadrat L = 104x - 20x^2. Puncak parabola L = ax^2 + bx + c terjadi pada x = -b / (2a).
Dalam kasus ini, a = -20 dan b = 104.

x = -104 / (2 * -20)
x = -104 / -40
x = 2.6

Sekarang kita cari nilai y menggunakan hubungan y = 26 - 8x:
y = 26 - 8 * (2.6)
y = 26 - 20.8
y = 5.2

c. Luas maksimum dihitung dengan mensubstitusikan nilai x = 2.6 ke dalam rumus luas L = 104x - 20x^2:
L_max = 104 * (2.6) - 20 * (2.6)^2
L_max = 270.4 - 20 * (6.76)
L_max = 270.4 - 135.2
L_max = 135.2