Seseorang berjalan lurus di jalan yang datar ke arah

Sekitar 7,37 meter

Pembahasan

Mari kita selesaikan masalah ini menggunakan konsep trigonometri, khususnya tangen.

Misalkan:
- Tinggi cerobong asap = T
- Tinggi orang = 1,6 m
- Jarak dari lokasi A ke proyeksi cerobong di tanah = x
- Jarak dari lokasi B ke proyeksi cerobong di tanah = x - 20

Kita akan bekerja dengan tinggi efektif cerobong asap dari ketinggian mata orang tersebut, yaitu T' = T - 1,6.

Dari lokasi A:
Sudut elevasi = 15°
Dalam segitiga siku-siku yang dibentuk oleh T', jarak x, dan garis pandang dari A ke puncak cerobong:
tan(15°) = T' / x
x = T' / tan(15°)

Dari lokasi B:
Sudut elevasi = 75°
Jarak dari lokasi B ke cerobong = x - 20
Dalam segitiga siku-siku yang dibentuk oleh T', jarak (x - 20), dan garis pandang dari B ke puncak cerobong:
tan(75°) = T' / (x - 20)
x - 20 = T' / tan(75°)

Sekarang kita punya dua persamaan:
1. x = T' / tan(15°)
2. x - 20 = T' / tan(75°)

Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2):
(T' / tan(15°)) - 20 = T' / tan(75°)

Kita perlu nilai tan(15°) dan tan(75°):
tan(15°) ≈ 0,2679
tan(75°) ≈ 3,7321

(T' / 0,2679) - 20 = T' / 3,7321
3,7321 T' - 20 = 0,2679 T'
3,7321 T' - 0,2679 T' = 20
3,4642 T' = 20
T' = 20 / 3,4642
T' ≈ 5,7735

Karena T' = T - 1,6, maka:
T = T' + 1,6
T = 5,7735 + 1,6
T = 7,3735

Mari kita gunakan nilai eksak untuk tan(15°) dan tan(75°) untuk hasil yang lebih akurat:
tan(15°) = 2 - √3
tan(75°) = 2 + √3

x = T' / (2 - √3)
x - 20 = T' / (2 + √3)

Substitusi x:
(T' / (2 - √3)) - 20 = T' / (2 + √3)

T' / (2 - √3) - T' / (2 + √3) = 20
T' [ 1/(2 - √3) - 1/(2 + √3) ] = 20
T' [ ((2 + √3) - (2 - √3)) / ((2 - √3)(2 + √3)) ] = 20
T' [ (2 + √3 - 2 + √3) / (4 - 3) ] = 20
T' [ 2√3 / 1 ] = 20
T' = 20 / (2√3)
T' = 10 / √3
T' = 10√3 / 3

T' ≈ 10 * 1,732 / 3 ≈ 17,32 / 3 ≈ 5,773

Sekarang, kita tambahkan kembali tinggi orang tersebut:
T = T' + 1,6
T = (10√3 / 3) + 1,6
T ≈ 5,773 + 1,6
T ≈ 7,373

Namun, ada kemungkinan soal ini mengharapkan pendekatan numerik langsung atau ada kesalahan dalam interpretasi penempatan soal. Jika kita lihat pada sudut elevasi 15 dan 75, serta perbedaan jarak 20 meter, ini adalah soal standar yang memiliki solusi yang lebih dikenal.

Rumus umum untuk tinggi dalam kasus ini (jika orang berjalan mendekat): Tinggi = (jarak * tan(sudut1) * tan(sudut2)) / (tan(sudut2) - tan(sudut1)). Perlu diingat, ini adalah tinggi dari titik pengamatan (mata orang). Kita perlu menambahkan tinggi orang di akhir.

T' = (20 * tan(15°) * tan(75°)) / (tan(75°) - tan(15°))
T' = (20 * (2 - √3) * (2 + √3)) / ((2 + √3) - (2 - √3))
T' = (20 * (4 - 3)) / (2√3)
T' = (20 * 1) / (2√3)
T' = 10 / √3
T' = 10√3 / 3

Tinggi cerobong asap (T) = T' + tinggi orang
T = (10√3 / 3) + 1,6

Jika kita ingin nilai numerik yang lebih sederhana, seringkali soal seperti ini menggunakan nilai pendekatan yang membuat perhitungan lebih mudah atau ada pilihan jawaban yang spesifik.

Mari kita hitung nilai numerik secara kasar:
T' ≈ (20 * 0.2679 * 3.7321) / (3.7321 - 0.2679)
T' ≈ (20 * 0.9999) / 3.4642
T' ≈ 20 / 3.4642
T' ≈ 5.7735

T = 5.7735 + 1.6 = 7.3735

Jika kita perhatikan, seringkali dalam soal ini, tinggi cerobong asap yang dicari adalah dari permukaan tanah, dan tinggi orang ditambahkan di akhir.

Ada kemungkinan soal ini mengarah pada jawaban yang lebih bulat atau pendekatan tertentu. Namun, berdasarkan perhitungan trigonometri yang tepat, tinggi efektifnya adalah 10√3 / 3 meter.

Mengonversi ke meter:
10√3 / 3 ≈ 5.77 meter.

Tinggi total = 5.77 + 1.6 = 7.37 meter.

Jika kita periksa kembali, mungkin ada cara visualisasi lain atau hubungan sudut yang lebih sederhana.

Perhatikan segitiga yang dibentuk oleh titik B, titik di tanah di bawah B sejajar dengan dasar cerobong, dan puncak cerobong. Sudut elevasi 75°. Sudut lain di B adalah 90 - 75 = 15°.

Perhatikan segitiga yang dibentuk oleh titik A, titik di tanah di bawah A sejajar dengan dasar cerobong, dan puncak cerobong. Sudut elevasi 15°.

Misalkan H adalah tinggi cerobong dari permukaan tanah. Tinggi orang = 1.6m. Maka tinggi dari mata orang ke puncak cerobong adalah H - 1.6.
Misalkan jarak dari B ke dasar cerobong adalah y. Maka jarak dari A ke dasar cerobong adalah y + 20.

Dari B: tan(75) = (H - 1.6) / y  => y = (H - 1.6) / tan(75)
Dari A: tan(15) = (H - 1.6) / (y + 20) => y + 20 = (H - 1.6) / tan(15)

Substitusi y:
(H - 1.6) / tan(75) + 20 = (H - 1.6) / tan(15)
20 = (H - 1.6) / tan(15) - (H - 1.6) / tan(75)
20 = (H - 1.6) [ 1/tan(15) - 1/tan(75) ]
20 = (H - 1.6) [ cot(15) - cot(75) ]

Kita tahu cot(15) = tan(75) = 2 + √3
Kita tahu cot(75) = tan(15) = 2 - √3

20 = (H - 1.6) [ (2 + √3) - (2 - √3) ]
20 = (H - 1.6) [ 2√3 ]
H - 1.6 = 20 / (2√3)
H - 1.6 = 10 / √3
H - 1.6 = 10√3 / 3

H = 1.6 + 10√3 / 3

H ≈ 1.6 + 5.7735
H ≈ 7.3735

Jadi, tinggi cerobong asap tersebut adalah sekitar 7,37 meter.