SBMPTN 2014/TKPA/693/3Jika a1, a2, a3 adalah barisan

Jika $a_1, a_2, a_3$ adalah barisan aritmetika dan $a_1, a_2, a_1+a_3$ adalah barisan geometri, maka $a_3/a_1 = 3$ atau $a_3/a_1 = -1$.

Pembahasan

Misalkan barisan aritmetika adalah $a_1, a_2, a_3, 
...$.
Karena barisan aritmetika, maka berlaku:
$a_2 = a_1 + d$
$a_3 = a_1 + 2d$

Di mana $d$ adalah beda barisan aritmetika.

Kita diberikan bahwa $a_1, a_2, a_1+a_3$ adalah barisan geometri.
Dalam barisan geometri, perbandingan antara suku berturutan adalah konstan (rasio, $r$).
Maka, berlaku:
$\,\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_1+a_3}{a_2} = r$

Dari $\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_1+a_3}{a_2}$, kita dapatkan:
$a_2^2 = a_1(a_1+a_3)$

Substitusikan $a_2 = a_1 + d$ dan $a_3 = a_1 + 2d$ ke dalam persamaan ini:
$(a_1+d)^2 = a_1(a_1 + (a_1+2d))$
$a_1^2 + 2a_1d + d^2 = a_1(2a_1+2d)$
$a_1^2 + 2a_1d + d^2 = 2a_1^2 + 2a_1d$

Kurangi kedua sisi dengan $2a_1d$:
$a_1^2 + d^2 = 2a_1^2$

Kurangi kedua sisi dengan $a_1^2$:
$d^2 = a_1^2$

Ini berarti $d = a_1$ atau $d = -a_1$.

Kita perlu mencari nilai $\frac{a_3}{a_1}$.
$\,\frac{a_3}{a_1} = \frac{a_1+2d}{a_1} = 1 + \frac{2d}{a_1}$.

Kasus 1: $d = a_1$
Jika $d = a_1$, maka:
$\,\frac{a_3}{a_1} = 1 + \frac{2a_1}{a_1} = 1 + 2 = 3$.

Mari kita periksa apakah ini konsisten. Jika $d=a_1$, maka barisan aritmetika adalah $a_1, 2a_1, 3a_1$. 
Barisan geometrinya adalah $a_1, a_2, a_1+a_3 = a_1, 2a_1, a_1+(3a_1) = a_1, 2a_1, 4a_1$. 
Perbandingan suku-sukunya adalah $\frac{2a_1}{a_1} = 2$ dan $\frac{4a_1}{2a_1} = 2$. Ini adalah barisan geometri dengan rasio 2.
Jadi, $\frac{a_3}{a_1} = 3$ adalah solusi yang valid.

Kasus 2: $d = -a_1$
Jika $d = -a_1$, maka:
$\,\frac{a_3}{a_1} = 1 + \frac{2(-a_1)}{a_1} = 1 - 2 = -1$.

Mari kita periksa apakah ini konsisten. Jika $d=-a_1$, maka barisan aritmetika adalah $a_1, 0, -a_1$.
Barisan geometrinya adalah $a_1, a_2, a_1+a_3 = a_1, 0, a_1+(-a_1) = a_1, 0, 0$.
Untuk menjadi barisan geometri, rasio harus konstan. $\frac{0}{a_1} = 0$ (jika $a_1 \neq 0$).
Namun, $\frac{0}{0}$ tidak terdefinisi.

Jika $a_1 = 0$, maka $d=0$ juga, sehingga semua suku adalah 0. Barisan aritmetika: 0, 0, 0. Barisan geometri: 0, 0, 0. Rasio bisa berapa saja. Dalam kasus ini $\frac{a_3}{a_1} = \frac{0}{0}$ tidak terdefinisi.

Jika $a_1 \neq 0$, dan $d=-a_1$, maka barisan geometri $a_1, 0, 0$ memiliki rasio $r=0$. Ini valid.
Jadi, $\frac{a_3}{a_1} = -1$ juga merupakan solusi yang valid.

Soal SBMPTN ini biasanya mencari nilai positif atau nilai tunggal jika tidak ada keterangan lebih lanjut. Namun, secara matematis kedua nilai dimungkinkan tergantung interpretasi jika $a_1=0$. Jika diasumsikan $a_1 \neq 0$, maka kedua solusi berlaku.

Dalam konteks ujian pilihan ganda, biasanya salah satu dari 3 atau -1 yang ditawarkan sebagai pilihan.
Jika kita harus memilih satu jawaban, dan tidak ada batasan $a_1 \neq 0$, maka kedua kasus harus dipertimbangkan. Jika $a_1 
eq 0$, maka $a_3/a_1$ bisa 3 atau -1.
Namun, seringkali soal seperti ini mengasumsikan $a_1 
eq 0$ dan rasio bukan nol.
Jika rasio $r=0$, maka barisan geometrinya adalah $a_1, 0, 0$. Ini memang memenuhi $a_1, a_2, a_1+a_3$ jika $a_1=a_1$, $a_2=0$, $a_1+a_3=0$. Dari $a_2=0$ dan $a_2=a_1+d$, maka $a_1+d=0$, atau $d=-a_1$. Dari $a_1+a_3=0$ dan $a_3=a_1+2d$, maka $a_1+(a_1+2d)=0$, atau $2a_1+2d=0$, atau $a_1+d=0$, yang konsisten.
Jadi $d=-a_1$ menghasilkan $a_3/a_1 = -1$.

Jika kita ambil nilai $a_1=2$, maka $d=2$, barisan aritmetika 2, 4, 6. Barisan geometri 2, 4, 8 (rasio 2). $a_3/a_1 = 6/2 = 3$.
Jika kita ambil nilai $a_1=2$, maka $d=-2$, barisan aritmetika 2, 0, -2. Barisan geometri 2, 0, 0 (rasio 0). $a_3/a_1 = -2/2 = -1$.

Kedua nilai, 3 dan -1, adalah hasil yang valid.