Setiap hari, seorang pembuat kue membuat dua jenis kue

Rp3.400.000,00

Pembahasan

Untuk memaksimalkan keuntungan, kita perlu menggunakan konsep program linear. Misalkan x adalah jumlah kue jenis A dan y adalah jumlah kue jenis B.

Fungsi tujuan (keuntungan) yang ingin dimaksimalkan adalah Z = 8000x + 9000y.

Kendala yang ada adalah:
1. Modal: 20000x + 30000y ≤ 10000000 (disederhanakan menjadi 2x + 3y ≤ 1000)
2. Jumlah kue: x + y ≤ 400
3. Non-negatif: x ≥ 0, y ≥ 0

Kita perlu mencari titik-titik sudut dari daerah yang memenuhi kendala tersebut:
Titik potong dari 2x + 3y = 1000 dan x + y = 400:
Dari x + y = 400, maka x = 400 - y.
Substitusikan ke persamaan pertama:
2(400 - y) + 3y = 1000
800 - 2y + 3y = 1000
y = 200
Jika y = 200, maka x = 400 - 200 = 200.
Jadi, titik potongnya adalah (200, 200).

Titik-titik sudut yang mungkin adalah:
- (0, 0): Z = 8000(0) + 9000(0) = 0
- Titik potong sumbu x dari 2x + 3y = 1000 (y=0): 2x = 1000 => x = 500. Titik (500, 0). Namun, ini melanggar kendala x + y ≤ 400. Jadi, kita ambil titik potong dari x+y=400 dan y=0, yaitu (400,0).
- Titik potong sumbu y dari 2x + 3y = 1000 (x=0): 3y = 1000 => y = 1000/3 ≈ 333.33. Titik (0, 1000/3). Kita ambil titik potong dari x+y=400 dan x=0, yaitu (0,400).
- Titik potong dari 2x + 3y = 1000 dan x + y = 400 adalah (200, 200).

Sekarang kita evaluasi fungsi tujuan di titik-titik sudut yang valid:
- (0, 0): Z = 0
- (400, 0) (memenuhi 2(400)+3(0) = 800 ≤ 1000 dan 400+0 = 400 ≤ 400): Z = 8000(400) + 9000(0) = 3.200.000
- (0, 400) (memenuhi 2(0)+3(400) = 1200 > 1000, tidak valid)
- (0, 1000/3) (memenuhi 2(0)+3(1000/3) = 1000 ≤ 1000 dan 0+1000/3 = 333.33 ≤ 400): Z = 8000(0) + 9000(1000/3) = 3.000.000
- (200, 200) (memenuhi 2(200)+3(200) = 400+600 = 1000 ≤ 1000 dan 200+200 = 400 ≤ 400): Z = 8000(200) + 9000(200) = 1.600.000 + 1.800.000 = 3.400.000

Nilai keuntungan maksimum adalah Rp3.400.000,00 yang dicapai ketika membuat 200 kue jenis A dan 200 kue jenis B.