Jika a dan b bilangan real,m,n, dan p bilangan rasional,

Pembagian bilangan berpangkat dengan basis sama sama dengan basis dipangkatkan selisih pangkatnya, terbukti dari definisi perkalian berulang dan sifat pembatalan.

Pembahasan

Bukti identitas eksponen $a^m / a^n = a^{m-n}$ untuk a bilangan real, dan m, n bilangan rasional.

Dalam definisi perpangkatan, $a^n$ berarti mengalikan 'a' sebanyak 'n' kali. Misalnya, $a^3 = a \times a \times a$.

Sekarang perhatikan $a^m / a^n$. Ini berarti kita mengalikan 'a' sebanyak 'm' kali di pembilang, dan mengalikan 'a' sebanyak 'n' kali di penyebut.

$rac{a^m}{a^n} = \frac{\overbrace{a \times a \times \dots \times a}^{m \text{ kali}}}{\underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ kali}}}$

Jika kita membatalkan faktor 'a' yang sama di pembilang dan penyebut, kita akan membatalkan 'n' faktor 'a'.

Misalnya, jika m > n:
$rac{a^m}{a^n} = \frac{\overbrace{a \times a \times \dots \times a}^{n \text{ kali}} \times \overbrace{a \times a \times \dots \times a}^{m-n \text{ kali}}}{\underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ kali}}}$

Setelah pembatalan:
$= \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{m-n \text{ kali}}$
$= a^{m-n}$

Jika m < n:
$rac{a^m}{a^n} = \frac{\overbrace{a \times a \times \dots \times a}^{m \text{ kali}}}{\underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{m \text{ kali}} \times \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n-m \text{ kali}}}$

Setelah pembatalan:
$= \frac{1}{\underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n-m \text{ kali}}}$
$= \frac{1}{a^{n-m}}$

Kita tahu bahwa $\frac{1}{a^k} = a^{-k}$. Jadi, $\frac{1}{a^{n-m}} = a^{-(n-m)} = a^{m-n}$.

Jika m = n:
$rac{a^m}{a^m} = 1$
Dan $a^{m-m} = a^0 = 1$ (dengan syarat $a \neq 0$).

Oleh karena itu, dalam semua kasus (m > n, m < n, atau m = n), berlaku bahwa $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ untuk bilangan real a (dimana a tidak nol jika pangkatnya negatif atau nol) dan m, n bilangan rasional.