Solve the following system x, y, and z in terms of p, q,

x = ± p^2/√(p^2+q^2+r^2), y = ± q^2/√(p^2+q^2+r^2), z = ± r^2/√(p^2+q^2+r^2)

Pembahasan

Kita diberikan sistem persamaan:
1) x(x+y+z) = p^2
2) y(x+y+z) = q^2
3) z(x+y+z) = r^2

Misalkan S = x+y+z. Maka sistem persamaan menjadi:
1) xS = p^2  => x = p^2 / S
2) yS = q^2  => y = q^2 / S
3) zS = r^2  => z = r^2 / S

Sekarang, kita substitusikan nilai x, y, dan z ke dalam definisi S:
S = x + y + z
S = (p^2 / S) + (q^2 / S) + (r^2 / S)
S = (p^2 + q^2 + r^2) / S

Kalikan kedua sisi dengan S:
S^2 = p^2 + q^2 + r^2

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
S = ±√(p^2 + q^2 + r^2)

Sekarang kita dapat menemukan x, y, dan z:
x = p^2 / S = p^2 / (±√(p^2 + q^2 + r^2)) = ± p^2 / √(p^2 + q^2 + r^2)
y = q^2 / S = q^2 / (±√(p^2 + q^2 + r^2)) = ± q^2 / √(p^2 + q^2 + r^2)
z = r^2 / S = r^2 / (±√(p^2 + q^2 + r^2)) = ± r^2 / √(p^2 + q^2 + r^2)

Karena p, q, dan r diasumsikan non-zero, kita perlu mempertimbangkan tanda dari S. Tanda dari x, y, dan z akan sama dengan tanda dari p, q, dan r jika S positif, dan berlawanan jika S negatif.

Dengan demikian, solusi untuk x, y, dan z dalam hal p, q, dan r adalah:
x = ± p^2 / √(p^2 + q^2 + r^2)
y = ± q^2 / √(p^2 + q^2 + r^2)
z = ± r^2 / √(p^2 + q^2 + r^2)

Di mana tanda '+' atau '-' harus konsisten untuk x, y, dan z, tergantung pada tanda dari x+y+z.