Suatu dadu ditos enam kali. Tentukan banyak cara memperoleh

Terdapat 480 cara.

Pembahasan

Kita perlu mencari banyak cara memperoleh jumlah mata dadu 27 dalam enam kali pelemparan, dengan syarat tepat satu dadu muncul mata 6. 

Karena tepat satu dadu muncul mata 6, maka ada 1 cara untuk pelemparan tersebut (memilih angka 6). Sisa 5 pelemparan harus menghasilkan jumlah mata dadu 27 - 6 = 21.

Setiap dari 5 pelemparan yang tersisa tidak boleh menghasilkan mata 6 (karena hanya satu yang boleh muncul mata 6). Jadi, setiap pelemparan ini dapat menghasilkan mata 1, 2, 3, 4, atau 5. 

Kita perlu mencari kombinasi dari 5 pelemparan (masing-masing dengan nilai 1-5) yang jumlahnya adalah 21.
Ini adalah masalah kombinatorik yang melibatkan pemecahan bilangan.

Misalkan $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ adalah hasil dari 5 pelemparan yang tersisa, di mana $1 	ext{ <= } x_i 	ext{ <= } 5$ untuk $i=1, ..., 5$, dan $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 21$.

Kita bisa menggunakan prinsip inklusi-eksklusi atau fungsi pembangkit untuk menyelesaikan ini, namun cara yang lebih sederhana adalah dengan mencoba beberapa kemungkinan:

Jika semua 5 pelemparan menghasilkan nilai maksimal (5), maka jumlahnya adalah $5 	imes 5 = 25$. Kita perlu mengurangi 4 dari jumlah ini.

Kita perlu mencari solusi dari $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 21$ dengan batasan $1 	ext{ <= } x_i 	ext{ <= } 5$.

Salah satu cara adalah mencari solusi dari $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 = 21 - 5 = 16$, di mana $0 	ext{ <= } y_i 	ext{ <= } 4$.

Jumlah total cara tanpa batasan atas adalah $C(16+5-1, 5-1) = C(20, 4) = 4845$.

Sekarang kita kurangi kasus di mana setidaknya satu $y_i 	ext{ >= } 5$ (yang berarti $x_i 	ext{ >= } 6$).
Misal $y_1 	ext{ >= } 5$. Ganti $y_1 = z_1 + 5$. Maka $z_1 + 5 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 = 16$, atau $z_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 = 11$. Jumlah cara: $C(11+5-1, 5-1) = C(15, 4) = 1365$. Ada 5 pilihan untuk $y_i$ yang nilainya $	ext{>= } 5$, jadi kita kurangi $5 	imes 1365 = 6825$. 

Ini menunjukkan bahwa pendekatan ini mungkin terlalu rumit atau ada kesalahan dalam asumsi awal.

Mari kita gunakan pendekatan yang lebih langsung dengan mempertimbangkan distribusi.
Kita mencari solusi bilangan bulat positif untuk $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 21$ dengan $1 	ext{ <= } x_i 	ext{ <= } 5$.

Jika kita memiliki distribusi mata dadu seperti (5, 5, 5, 5, 1) atau (5, 5, 5, 4, 2) atau (5, 5, 4, 4, 3) atau (5, 4, 4, 4, 4) atau (4, 4, 4, 4, 5) atau (5, 5, 3, 4, 4), dll.

Ini adalah masalah partisi bilangan dengan batasan.

Jumlah cara untuk mendapatkan jumlah 21 dari 5 dadu, masing-masing dengan nilai 1 sampai 5:
Kita bisa mempertimbangkan berapa banyak angka 5, 4, 3, 2, 1 yang digunakan.

Misalnya, jika ada empat angka 5: (5, 5, 5, 5, 1). Ada $C(5, 1) = 5$ cara untuk menempatkan angka 1.
Jika ada tiga angka 5: (5, 5, 5, 4, 2). Ada $P(5; 3,1,1) = 5!/(3!1!1!) = 20$ cara.
Jika ada tiga angka 5: (5, 5, 5, 3, 3). Ada $C(5, 2) = 10$ cara.
Jika ada dua angka 5 dan dua angka 4: (5, 5, 4, 4, 3). Ada $P(5; 2,2,1) = 5!/(2!2!1!) = 30$ cara.
Jika ada dua angka 5 dan tiga angka 4: (5, 5, 4, 4, 4). Ada $C(5, 2) = 10$ cara.
Jika ada satu angka 5 dan empat angka 4: (5, 4, 4, 4, 4). Ada $C(5, 1) = 5$ cara.

Total cara untuk 5 dadu agar jumlahnya 21 dan masing-masing bernilai 1-5 adalah:
5 (dari 5,5,5,5,1) + 20 (dari 5,5,5,4,2) + 10 (dari 5,5,5,3,3) + 30 (dari 5,5,4,4,3) + 10 (dari 5,5,4,4,4) + 5 (dari 5,4,4,4,4) = 80 cara.

Jadi, ada 80 cara untuk mendapatkan jumlah 21 dari 5 dadu (masing-masing 1-5).

Karena ada 6 kali pelemparan dadu, dan kita tahu tepat satu dadu adalah 6, maka kita perlu memilih pelemparan mana yang bernilai 6 (ada 6 pilihan), dan 5 pelemparan sisanya harus berjumlah 21 dengan nilai 1-5. 

Jadi, banyak cara adalah $6 	imes 80 = 480$ cara.