Suatu matriks bujur sangkar A adalah simetrik jika A=A^T.

Nilai a, b, dan c agar matriks A simetrik adalah a=11, b=-9, dan c=-13.

Pembahasan

Sebuah matriks bujur sangkar A dikatakan simetrik jika $A = A^T$, di mana $A^T$ adalah transpose dari matriks A. Transpose matriks diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom atau sebaliknya.

Matriks A diberikan sebagai:
$A = \begin{pmatrix} 2 & a-2b+2c & 2a+b+c \\ 3 & 5 & a+c \\ 0 & -2 & 7 \end{pmatrix}$

Transpose dari matriks A, yaitu $A^T$, adalah:
$A^T = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 \\ a-2b+2c & 5 & -2 \\ 2a+b+c & a+c & 7 \end{pmatrix}$

Agar matriks A simetrik, maka $A = A^T$. Ini berarti setiap elemen pada posisi $(i, j)$ di matriks A harus sama dengan elemen pada posisi $(j, i)$ di matriks A, atau elemen pada posisi $(i, j)$ di matriks A harus sama dengan elemen pada posisi $(i, j)$ di matriks $A^T$.

Kita bandingkan elemen-elemen yang bersesuaian:

1. Elemen di baris 1, kolom 2:
$A_{12} = a-2b+2c$
$A^T_{12} = 3$
Agar simetrik, $A_{12} = A^T_{12}$, maka $a-2b+2c = 3$.  (Persamaan 1)

2. Elemen di baris 1, kolom 3:
$A_{13} = 2a+b+c$
$A^T_{13} = 0$
Agar simetrik, $A_{13} = A^T_{13}$, maka $2a+b+c = 0$. (Persamaan 2)

3. Elemen di baris 2, kolom 1:
$A_{21} = 3$
$A^T_{21} = a-2b+2c$
Agar simetrik, $A_{21} = A^T_{21}$, maka $3 = a-2b+2c$. Ini sama dengan Persamaan 1.

4. Elemen di baris 2, kolom 3:
$A_{23} = a+c$
$A^T_{23} = -2$
Agar simetrik, $A_{23} = A^T_{23}$, maka $a+c = -2$. (Persamaan 3)

5. Elemen di baris 3, kolom 1:
$A_{31} = 0$
$A^T_{31} = 2a+b+c$
Agar simetrik, $A_{31} = A^T_{31}$, maka $0 = 2a+b+c$. Ini sama dengan Persamaan 2.

6. Elemen di baris 3, kolom 2:
$A_{32} = -2$
$A^T_{32} = a+c$
Agar simetrik, $A_{32} = A^T_{32}$, maka $-2 = a+c$. Ini sama dengan Persamaan 3.

Sekarang kita memiliki sistem tiga persamaan linear dengan tiga variabel (a, b, c):
1) $a - 2b + 2c = 3$
2) $2a + b + c = 0$
3) $a + c = -2$

Dari Persamaan 3, kita bisa menyatakan $c$ dalam $a$: $c = -2 - a$.
Substitusikan $c$ ke dalam Persamaan 2:
$2a + b + (-2 - a) = 0$
$a + b - 2 = 0$
$b = 2 - a$. (Persamaan 4)

Sekarang substitusikan nilai $c$ dan $b$ (dari Persamaan 3 dan 4) ke dalam Persamaan 1:
$a - 2(2 - a) + 2(-2 - a) = 3$
$a - 4 + 2a - 4 - 2a = 3$
$a - 8 = 3$
$a = 3 + 8$
$a = 11$

Sekarang kita temukan nilai $b$ dan $c$ menggunakan nilai $a=11$:
Dari Persamaan 4: $b = 2 - a = 2 - 11 = -9$.
Dari Persamaan 3: $c = -2 - a = -2 - 11 = -13$.

Jadi, nilai $a=11$, $b=-9$, dan $c=-13$. Mari kita periksa apakah ini memenuhi semua persamaan:
1) $11 - 2(-9) + 2(-13) = 11 + 18 - 26 = 29 - 26 = 3$ (Benar)
2) $2(11) + (-9) + (-13) = 22 - 9 - 13 = 22 - 22 = 0$ (Benar)
3) $11 + (-13) = 11 - 13 = -2$ (Benar)

Semua persamaan terpenuhi, jadi nilai-nilai tersebut benar.