Suatu memproduksi 2 jenis mainan, yaitu jenis I dan II.

Model matematika: Maksimalkan Z = 3000x + 5000y dengan kendala 6x + 3y ≤ 54, 4x + 6y ≤ 48, 5x + 5y ≤ 50, x ≥ 0, y ≥ 0. Keuntungan maksimum Rp40.000,00 diperoleh dengan memproduksi 0 mainan jenis I dan 8 mainan jenis II.

Pembahasan

Mari kita buat model matematika untuk persoalan pabrik mainan ini.

**Variabel Keputusan:**
Misalkan:
*   x = jumlah mainan jenis I
*   y = jumlah mainan jenis II

**Fungsi Tujuan (Memaksimalkan Keuntungan):**
Keuntungan dari jenis I adalah Rp3.000,00 per mainan, dan dari jenis II adalah Rp5.000,00 per mainan. Maka, fungsi tujuan Z adalah:
Z = 3000x + 5000y

**Fungsi Kendala (Alokasi Waktu):**
Kendala ini didasarkan pada waktu yang tersedia untuk setiap tahap produksi:

1.  **Membuat Bahan:**
    *   Jenis I: 6 jam/mainan
    *   Jenis II: 3 jam/mainan
    *   Total waktu tersedia: 54 jam
    Kendala: 6x + 3y ≤ 54

2.  **Memasang:**
    *   Jenis I: 4 jam/mainan
    *   Jenis II: 6 jam/mainan
    *   Total waktu tersedia: 48 jam
    Kendala: 4x + 6y ≤ 48

3.  **Mengepak:**
    *   Jenis I: 5 jam/mainan
    *   Jenis II: 5 jam/mainan
    *   Total waktu tersedia: 50 jam
    Kendala: 5x + 5y ≤ 50

4.  **Kendala Non-Negatif:**
    Jumlah mainan tidak boleh negatif.
    x ≥ 0
    y ≥ 0

**Model Matematika Lengkap:**
Maksimalkan Z = 3000x + 5000y
Dengan kendala:
6x + 3y ≤ 54
4x + 6y ≤ 48
5x + 5y ≤ 50
x ≥ 0
y ≥ 0

**Penyelesaian dan Interpretasi:**
Untuk menyelesaikan persoalan ini dan menemukan keuntungan maksimum, kita perlu menggunakan metode program linier, seperti metode grafis atau metode simpleks. Mari kita gunakan metode grafis.

Kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi semua kendala.

1.  6x + 3y = 54  => 2x + y = 18
2.  4x + 6y = 48  => 2x + 3y = 24
3.  5x + 5y = 50  => x + y = 10

Mari kita cari titik potong antar garis:
*   Potong (1) dan (2):
    (2x + 3y) - (2x + y) = 24 - 18
    2y = 6
    y = 3
    Substitusi y=3 ke (1): 2x + 3 = 18 => 2x = 15 => x = 7.5
    Titik potong: (7.5, 3)

*   Potong (1) dan (3):
    (2x + y) - (x + y) = 18 - 10
    x = 8
    Substitusi x=8 ke (3): 8 + y = 10 => y = 2
    Titik potong: (8, 2)

*   Potong (2) dan (3):
    (2x + 3y) - 2(x + y) = 24 - 2(10)
    2x + 3y - 2x - 2y = 24 - 20
    y = 4
    Substitusi y=4 ke (3): x + 4 = 10 => x = 6
    Titik potong: (6, 4)

Titik-titik pojok yang relevan (termasuk titik (0,0) dan perpotongan dengan sumbu x dan y jika mereka memenuhi kendala lain):

*   (0, 0)
*   Perpotongan 2x+y=18 dengan sumbu y (x=0): (0, 18). Cek kendala lain: 4(0)+6(18)=108 > 48 (Tidak memenuhi)
*   Perpotongan 2x+y=18 dengan sumbu x (y=0): (9, 0). Cek kendala lain: 4(9)+6(0)=36 ≤ 48 (Memenuhi), 5(9)+5(0)=45 ≤ 50 (Memenuhi). Titik pojok: (9, 0)
*   Perpotongan 2x+3y=24 dengan sumbu y (x=0): (0, 8). Cek kendala lain: 6(0)+3(8)=24 ≤ 54 (Memenuhi), 5(0)+5(8)=40 ≤ 50 (Memenuhi). Titik pojok: (0, 8)
*   Perpotongan 2x+3y=24 dengan sumbu x (y=0): (12, 0). Cek kendala lain: 6(12)+3(0)=72 > 54 (Tidak memenuhi)
*   Perpotongan x+y=10 dengan sumbu y (x=0): (0, 10). Cek kendala lain: 6(0)+3(10)=30 ≤ 54 (Memenuhi), 4(0)+6(10)=60 > 48 (Tidak memenuhi)
*   Perpotongan x+y=10 dengan sumbu x (y=0): (10, 0). Cek kendala lain: 6(10)+3(0)=60 > 54 (Tidak memenuhi)

Titik potong yang valid dari pasangan kendala:
*   (7.5, 3): Cek kendala 3: 5(7.5)+5(3) = 37.5+15 = 52.5 > 50 (Tidak memenuhi)
*   (8, 2): Cek kendala 2: 4(8)+6(2) = 32+12 = 44 ≤ 48 (Memenuhi). Titik pojok: (8, 2)
*   (6, 4): Cek kendala 1: 6(6)+3(4) = 36+12 = 48 ≤ 54 (Memenuhi). Titik pojok: (6, 4)

Titik-titik pojok yang memenuhi semua kendala adalah: (0,0), (9,0), (0,8), (8,2), (6,4).

Sekarang, evaluasi fungsi tujuan Z = 3000x + 5000y di setiap titik pojok:
*   Z(0,0) = 3000(0) + 5000(0) = 0
*   Z(9,0) = 3000(9) + 5000(0) = 27000
*   Z(0,8) = 3000(0) + 5000(8) = 40000
*   Z(8,2) = 3000(8) + 5000(2) = 24000 + 10000 = 34000
*   Z(6,4) = 3000(6) + 5000(4) = 18000 + 20000 = 38000

Keuntungan maksimum adalah Rp40.000,00 yang dicapai ketika pabrik memproduksi 0 mainan jenis I dan 8 mainan jenis II.

**Interpretasi:**
Untuk mendapatkan keuntungan maksimum dari pesanan tersebut, pabrik sebaiknya fokus pada produksi mainan jenis II saja. Dengan memproduksi 8 unit mainan jenis II dan 0 unit mainan jenis I, pabrik akan mencapai keuntungan sebesar Rp40.000,00. Produksi ini akan menghabiskan 6(0)+3(8)=24 jam untuk membuat bahan, 4(0)+6(8)=48 jam untuk memasang, dan 5(0)+5(8)=40 jam untuk mengepak, yang semuanya berada dalam batas waktu yang dialokasikan.