Rasio deret geometri adalah 2log(x-2). Deret ini konvergen

2 + e^(-1/2) < x < 2 + e^(1/2)

Pembahasan

Sebuah deret geometri akan konvergen jika nilai absolut dari rasionya (|r|) kurang dari 1.

Dalam soal ini, rasio deret geometri diberikan sebagai 2log(x-2).
Agar deret ini konvergen, maka harus memenuhi syarat:
|2log(x-2)| < 1

Ini berarti:
-1 < 2log(x-2) < 1

Kita perlu menyelesaikan ketidaksetaraan ini untuk x. Pertama, kita bagi semua bagian dengan 2:
-1/2 < log(x-2) < 1/2

Asumsikan logaritma di sini adalah logaritma natural (ln) atau logaritma basis 10 (log). Kita akan gunakan logaritma natural (ln) sebagai contoh, karena logaritma umum dalam konteks matematika lanjutan.

Jika kita gunakan ln (logaritma natural):
ln(x-2) harus berada di antara -1/2 dan 1/2.

Untuk menghilangkan ln, kita gunakan eksponensial (e^x) pada ketiga bagian:
e^(-1/2) < x-2 < e^(1/2)

Sekarang, kita tambahkan 2 ke semua bagian:
2 + e^(-1/2) < x < 2 + e^(1/2)

Menghitung nilai perkiraan:
e^(-1/2) ≈ 0.6065
e^(1/2) ≈ 1.6487

Jadi:
2 + 0.6065 < x < 2 + 1.6487
2.6065 < x < 3.6487

Selain itu, argumen dari logaritma harus positif, yaitu x-2 > 0, yang berarti x > 2.

Rentang x = 2.6065 hingga 3.6487 sudah memenuhi syarat x > 2.

Jadi, deret geometri tersebut konvergen untuk semua x yang memenuhi 2 + e^(-1/2) < x < 2 + e^(1/2).