Suatu persegi panjang mempunyai keliling 48 cm. Carilah

Luas terbesar dari persegi panjang dengan keliling 48 cm adalah 144 cm², yang dicapai ketika persegi panjang tersebut berbentuk bujur sangkar dengan sisi 12 cm.

Pembahasan

Untuk mencari luas terbesar dari persegi panjang dengan keliling 48 cm, kita perlu menggunakan konsep bahwa persegi panjang dengan keliling tetap akan memiliki luas terbesar ketika ia berbentuk bujur sangkar.

Misalkan panjang persegi panjang adalah 'p' dan lebarnya adalah 'l'.
Keliling (K) = 2(p + l)
Luas (L) = p * l

Diketahui K = 48 cm.
Maka, 2(p + l) = 48
p + l = 24

Kita ingin memaksimalkan luas L = p * l.
Dari persamaan p + l = 24, kita bisa menyatakan p = 24 - l.
Substitusikan ke dalam rumus luas:
L = (24 - l) * l
L = 24l - l^2

Ini adalah fungsi kuadratik yang terbuka ke bawah. Nilai maksimumnya terjadi pada titik puncak.
Cara 1: Mencari titik puncak dengan turunan.
Turunan pertama L terhadap l adalah dL/dl = 24 - 2l.
Setel turunan pertama sama dengan nol untuk mencari nilai l yang memaksimalkan L:
24 - 2l = 0
2l = 24
l = 12 cm

Jika l = 12 cm, maka p = 24 - l = 24 - 12 = 12 cm.
Jadi, persegi panjang tersebut adalah bujur sangkar dengan sisi 12 cm.
Luas terbesar = p * l = 12 cm * 12 cm = 144 cm².

Cara 2: Menggunakan sifat bujur sangkar.
Untuk keliling yang sama, bujur sangkar memiliki luas terbesar. Jika kelilingnya 48 cm, maka setiap sisi bujur sangkar adalah 48 / 4 = 12 cm. Luasnya adalah 12 * 12 = 144 cm².